[有效编制开放题　开发数学课程资源]三年级数学上册试卷题

　　[摘 要]数学课程资源的开发与利用，是初中数学课程改革的一项重要任务。编制有效的开放题对于开发和利用以教材为基础的数学课程资源是比较经济而又切实可行的好途径。本文结合教学实践，从编制原则、编制方法和注意事项等方面阐述了有效编制开放题，开发好数学课程资源的问题。
　　[关键词]课程资源 数学开放题 原则方法 注意事项
　　
　　一、问题缘起
　　
　　如何不断地进行数学课程资源的开发与利用，让学生在丰富多彩的数学课程中，“人人学有用的数学；人人都能获得必需的数学；不同人学习不同的数学”呢？编制有效的数学开放题就是开发数学课程资源的一个好途径。因为数学开放题不象封闭题那样大部分或者全部条件具备，问题明了，结论明确。而且开放题注意从现实生活与生产中提出问题，其结果往往是“前途未卜”。学生在求解过程中处处需要探索、尝试、分析、推断，提出新办法来解决问题，有利于培养思维的独创性和发散性，进而形成创新能力。而这正是素质教育的制高点――培养学生的创新思维能力所需要的。同时，将传统的数学习题设计成为具有开放性问题的数学习题，也能够引起学生的兴趣，激发学生思维和学习激情，引发师生课堂互动，这对于构建创新型的数学课堂与师生关系无疑是一大进步。
　　
　　二、数学开放题的编制原则
　　
　　1.体现探索性，促进主动学习。编制的开放题必须具有多种不同的解法或有多种可能的解答，这就要求数学开放题的知识点要多，综合性要强。因此，开放性问题的挑战性与趣味性所散发出的魅力可以吸引学生主动愉悦地学习，更加唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生发扬主体精神，主动参与，自行探索。学生为了得到更多答案，会学会查资料，学习从不同角度研究问题，还能主动与他人合作，分享经验，最终让人人有所收获，充分发展自我，表现自我。
　　2.体现丰富性，促进思维培养。编制的开放题要丰富多样，有利于培养学生良好的思维品质，促使学生的思维向深刻性、广阔性、批判性发展。比如，要求学生在解题中充分理解已有条件，从不同角度对问题作出全面分析，要求进行正确判断；要求学生对同一个问题在教学中没有明显解决路线，要求学生纵横联想，一题多思，一题多解，训练学生的发散思维；要求学生从外表纷繁的情况下找到最简捷的方法，培养逻辑思维能力；要求开放题存在多余条件、干扰条件或者缺失条件，需要学生明辨是非，去伪存真，培养学生思维的鉴别能力。学生发现使结论成立的多种条件，有利于学生提高联想、猜测等非逻辑思维能力和分析综合、抽象概括等逻辑思维能力，在寻找多种答案中的最优解与多种条件中的最优条件的过程中训练创造性思维能力，开拓思维空间。
　　3.体现教育性，促进个性发展。人文主义教育强调人的个性化，充分发展人的个性化的独立性。素质教育的最高教育目的之一就是塑造具有和谐人格和全面发展的完整个人。新课程标准也强调要关注学生的个性差异，有意义地实施差异教学，使每个学生都得到充分的发展。开放性问题能较好地满足全体学生，多样化的学习要求。学生需要通过一系列分析，展开发散性思维，运用所学的知识经过推理，得出正确的结论。充分显示出思维的多样性，同时也体现了学生对数学学习的个性化，从而全方位地培养学生的创造能力，使其具备良好的数学品质和信念，为学生进一步（乃至终身）学习数学提供素质保证。
　　4.体现创造性，促进教学相长。在开放题引入课堂后，教师不是教学活动的主角，而是“编剧”和“导演”；不是知识的传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者和调控者。因为学生既是课程资源的消费者，又是课程资源的开发者，尤其是在现代信息技术广泛运用到教学与生活的各个方面的背景下，学生获取知识与信息的途径多元化，学生之间的相互交流与学习显得越来越频繁和重要了，他们本身就成了特殊的课程资源的开发者，他们已有的知识、经验、经历、兴趣等都可能成为课程资源。与此同时，学生的学习方式也发生了根本性的变革，在自主、合作、探究学习的过程中，相互之间形成丰富多彩的课程资源。因此，教师要重视学生积极参与资源的开发与建设，形成师生共同编制开放题，实现教学相长的良好局面。
　　
　　三、数学开放题的编制方法
　　
　　1.弱化陈题条件，使其结论多样化。
　　[例1]某车队要把56吨的货物从A地运往B地，已知大卡车每次可运货l0吨，需运费200元；小卡车每次可运货4吨，需运费90元；现有2辆大卡车，问：还需要几辆小卡车，才能一次把货运完？
　　对于这道题目，如果把题中条件隐去，改成：设计几种不同的租车方案，选择你认为最优的一种，运费多少元？条件的隐去使得问题有多种不同的结果。一般来说，所有的学生都能设计几种不同的方案，但方案的多少、优劣是否有序则体现不同学生思维水平的高低。这样的题目体现了“人人都能学习数学、人人都能学习有用的数学以及不同的人学习不同的数学”的教育思想。
　　2.隐去陈题的结论，使其指向多样化。对一道数学题，隐去其中一个或多个条件，去寻找其结论成立的重要条件或最优条件，是封闭题开放的主要策略之一。
　　[例2]如图，D，E是三角形ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，还应满足什么条件？
　　答案：∠BAD=∠CAE；∠B=∠C；∠BAE=∠CAD；EC=BD；BE=CD；AB=AC。
　　再如，相交弦定理的学习，教师可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的辅助线，探索一些结论（如角相等、三角形相似等），教师顺着学生思维或由学生自己探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变为切线的情况有如何？可由学生研究。
　　3.在给定的条件下，探求多种结论。可以把传统数学题中的某个变量换成其他变量，改编成数学开放题。
　　[例3]CD是Rt△ABC斜边AB上的高，尽可能找出图形的形状和大小之间存在的各种关系。
　　[例4]请你先化简： - ，再选取一个使原式有意义、而你又喜爱的数代入求值。
　　这是用开放题的形式强化学生基础知识（代数式的化简及其有意义的条件）的题目，既新奇又实在。
　　4.加强命题的结论，追寻使其成立的充分条件(一般需增加条件)。
　　[例5]已知梯形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件如“BC=AD”，则可判定ABCD为等腰梯形，请问除“BC=AD”外，还可以添加一个什么条件，使梯形ABCD为等腰梯形？（至少写出两种）
　　5.比较某些对象的异同点。利用不同知识的联系与区别进行推广或类比，比较一些相似或相同的数学命题、数学方法，加以深化或推广，即类比法。对一些数学对象，如几何图形、数字、算式、解答方法等，比较它们的异同点，或用不同的角度对它们进行分类，则往往能获得开放题。例如，比较下列两个单项式的异同：12a2b2c，8a3xy。相同点：都是单项式；都有三个字母；系数都是正整数；都含有字母a；最高公因式为4a3；都是5次多项式。不同点：所含字母不同；系数不同；不是同类项；尽管都含有a，但字母a的次数不同。
　　6.设计解决某些实际问题方案或在实际问题中寻求多种解法与结论。根据某些数学知识和数学方法，在相关的情景下，设计应用性数学开放题。如付息问题或生产利润问题直接与等差数列、等比数列的知识相关，笔者与学生一起编了这样的数学开放题：①有一块长4米，宽3米的园地，现要在园地上辟一个花圃，使花圃的面积是园地的一半，问如何设计？给出你设计的图案并作出有关的计算。②某工商企业进行技术改造，需要从银行贷款，有两种方案。方案一：一次性贷款100万元，第一年可获利l0万元；以后每年比前一年增加30％的利润；方案二：每年贷款l0万元，第一年可获利l0万元，以后每一年比前一年增加利润5万元。两种方案贷款期限都是l0年，到期一次性还本付息。若银行贷款利率均按复利l0％计算，试比较两种方案的优劣。若贷款期限大于l0年，请估计两种方案的优劣。③试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分，并指出面积相等的是哪五个部分（保留分割痕迹和必要的标注，不写做法）。
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　　四、编制开放题的注意事项
　　
　　在编制数学开放题时，必须把握好问题的开放度、语言的暗示性、问题的可发展性和学生的认知水平等方面，控制好题目的开放度和难度。
　　1.控制好题目的开放度。控制好题目的开放度是编制开放性题目是否成功的一个关键。无视或轻视这个关键，单纯追求答案的多样性，是导致开放性题目编制上失误的一个常见原因。我们可以采取限定答案的范围和改变参数的取值等方法来控制好题目的开放度。
　　[例6]为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，某班学生争取到制作彩旗的任务。如果有两边长分别为1，a（其中a>1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应a的值，（不写计算过程）
　　本题源自《初中数学开放题集》中的3.1题“矩形的自相似3分割”。我们编制该题时，原先的问题是“矩形的自相似5分割”，也就是“长宽比为多少的矩形可以进行自相似5分割？”解决这个问题需要对图形进行相当繁杂的分类工作。显然这是一个非常好的问题素材但不适合对初中生作要求，因此我们将“5分割”改成了“3分割”，降低了问题的开放度，但解题中所用到的解题策略和思想方法基本不变，适合于初中学生的水平。
　　2.控制好题目的难度。在开放性题目中，现在很多人往往只关心开放题本身的难度，而对设问方式对题目难度的控制作用缺乏足够的认识和关注。因此，可以采取改变问题的叙述方式、运用暗示技术和改变答题的要求来控制好题目的难度。
　　[例7]在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两个点之间的距离有且只有两种长度。例如正方形ABCD（如右图），有AB＝BC＝CD＝DA≠AC＝BD。请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段。
　　这是根据一道陈题改编而成的，原题共有六种答案。考虑到初中生的知识背景，对题中涉及到的“平面上具有两种距离的四个点”这一概念进行举例说明是必要的，因此在题目中把其中正方形的答案作为一个例子以帮助学生理解题意。这样一来，不但把相对容易想到的正方形这个答案留给的了学生，而且对比较难想到的等腰梯形这个答案进行了暗示：只要把题中所给例子中的五个点去掉一个点就可以得到等腰梯形这一答案（能接受这种暗示也在一个方面表明学生的数学水平）。并且，要求学生在总共六种答案中找出其中四个，也要比在五个答案中找出其中四个要容易些。
　　总之，编制有效的开放题对于开发和利用以教材为基础的数学课程资源是比较经济而又切实可行的好途径。如何进一步发动学生参与到编制工作中来，如何在使用开放题的过程中及时反馈信息，进行完善，从而建立不同层次的开放题资源库，达到共建共享的目的，还需要付出艰苦的努力。
　　
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