【用数学方法求解高中物理极值】 高中物理临界极值问题

　　描述某一过程或某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往是能取在一定范嗣的边界值等一些特殊值。由此，物理问题中常常涉及到这些物理量的特殊值的问题。我们把这些问题称为极值间题。在各种习题和高考习题中，此类问题屡见不鲜。极值问题是高中物理习题中常见的一种题型，掌握这类习题的特点，加强这方面的训练和指导，有利于提高学生的理解能力、推理能力和分析综合能力。
　　常见的极值问题有两类：一类是直接指明某量有极值而要求其极值，另一类则是通过求出某量的极值，进而以此作为依据而解出与之相关的问题。中学物理中涉及到的一些求极值的问题，使有的同学感到十分棘手，其原因是，此类问题的综合性较强、灵活性大。本文对求解极值问题的方法归纳如下，供参考。
　　
　　一、运用二次函数的极值求解
　　
　　此方法主要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝－b/2a时，有极值ym＝(4ac－b2)/4a，其中当a＜O时，ym为最大值，当a＞0时，ym为最小值。
　　例1 在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度v0竖直向上发射一个质量为m，电量为q的小球，求小球从运动开始需多少时间速度达到最小值，并求出最小值。
　　解析：设物体的运动时间为t时，竖直向上的速度为v1，水平匀加速运动的速度为v2，则有：
　　
　　二、运用均值不等式求解

　　例2　如图1所示，为一稳压电路，电源电动势为E，内阻为r，负载电阻为R，求当R取何值时电源的输出功率为最大值，并求出最大值?
　　解析：设电源的输出功率为P，则有：
　　因为(r2/R)・R＝r2(定值)，故当r2/R＝R时，即R＝r时，r2/R＋R有最小值2r，这时P为最大值pmax，即p＝E2/4r。
　　此方法主要根据三角函数sin(θ＋φ)＝±1时，asinθ+bcosθ有最值，且taφ＝b/a。
　　例3　如图2所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为u，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角?最小的力为多大?
　　解析：设F与竖直方向的夹角为0，物体匀速前进则有：
　　
　　　 四、运用判别式法求解
　
　　此方法主要根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式△＝b2＋4ac来确定各物理量之间的相互关系进行求解。
　　例4　如图3所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，同时开始向右运动。甲以速度v做匀速运动，乙做初速度为零的匀加速运动，加速度为a。试求a应该满足什么条件才能使两物体相遇?
　　解析：设经过时间t两物体相遇，相遇时两物体位移分别为s甲＝vt,S乙＝at2/2
　　根据题意可知：S甲＝S乙＋S
　　即vt＝at2/2＋S
　　或写成at2－2vt＋2S＝O
　　要使两物体相遇，上方程的判别式须满足△≥0，即4v2－8aS≥0，由此可得：a≤v2/2S
　　
　　五、运用导数求解
　　
　　此方法主要应用函数y＝f(x)的一阶导数y′＝O,y有极值进行求解。
　　例5　如图4所示，M、N为两个等量同种电荷，其间的距离已知，在其连线的中垂线上有一P点，PM与MN的夹角为θ。求θ为何值时P点的场强E为最大值，并求出最大值。
　　解析：设MN＝2a，M、N两电荷的电量都为q，两电荷在P产生的场强分别为E1、E2，根据点电荷的场强公式可得：
　　E1＝E2＝kqcos2θ/a2
　　由平行四边形定则，P的场强为：
　　E＝2E1sinθ＝2kqcos2θsin1θ/a％=2kq(sinθ－sin3θ/a2
　　令X＝sinθ，y＝sinθ－sin3θ＝x－x3关于y对x求导得：
　　y′＝l－3x3