高中数学三角函数教案 高一三角函数教案
三角函数知识梳理
§1.1任意角和弧度制
⎧正角：逆时针方向旋转
⎪
1. . 任意角⎨负角：顺时针防线旋转
⎪零角⎩
2. 象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：β|β=k ⨯360 +α, k ∈Z ②终边在x 轴上的角的集合： β|β=k ⨯180 , k ∈Z ③终边在y 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 +90 , k ∈Z ④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k ⨯90 , k ∈Z ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：
{}
{}
{}
{}
{β|β=k ⨯180+45, k ∈Z }
⑥终边在y =-x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 -45 , k ∈Z
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：α=360k -β，k ∈Z ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：α=360 k +180 -β，k ∈Z ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：α=180k +β，k ∈Z ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：α=180k +β+90，k ∈Z 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对
的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|=
{}
l
, 其中r 是圆的半径。 r
180
5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（180）°≈57.30° 1°＝π
π
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：⎨α|2k π
⎧⎩
π
⎫
+2k π, k ∈Z ⎬ 2⎭
o
锐角：⎨α|0
⎧
⎩
π⎫
2⎭
⎬ ； 小于90的角：⎨α|α
⎧⎩
π⎫
⎬（包括负角和零角） 2⎭
2
7. 弧长公式：l =|α|R 扇形面积公式：S =lR =|α|R
§1.2任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x , y ) 是α的终边上
的任意一点（异于原点）
，它与原点的距离是r =
>0，那么
y x sin α=,cos α=
r r
2.. 三角函数线
y
tan α=, (x ≠0) ，
x
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：3. 三角函数在各象限的符号：
＋ ＋ － ＋ － － － ＋ α cos α tan α
4. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：sin α+cos α=1,1+tan α=（2）商数关系：tan α=
2
2
2
1
cos 2α
sin α
（用于切化弦） cos α
※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
§1.3三角函数的诱导公式
k π
±α形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 1. 诱导公式（把角写成2
⎧sin(-x ) =-sin x ⎧sin(2k π+x ) =sin x ⎧sin(π+x ) =-sin x ⎪⎪⎪Ⅰ）⎨cos(2k π+x ) =cos x Ⅱ）⎨cos(-x ) =cos x Ⅲ） ⎨cos(π+x ) =-cos x ⎪tan(-x ) =-tan x ⎪tan(2k π+x ) =tan x ⎪tan(π+x ) =tan x ⎩⎩⎩
π⎧π⎧⎧sin(π-x ) =sin x sin(-α) =cos α+α) =cos α⎪⎪⎪⎪2⎪2Ⅳ）⎨cos(π-x ) =-cos x Ⅴ）⎨ Ⅵ）⎨
⎪tan(⎪cos(π-α) =sin α⎪π+α) =-sin απ-x ) =-tan x ⎩⎪⎪2⎩2⎩
§1.4三角函数的图像与性质
1. 周期函数定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x +T ) =f (x ) 都成立，那么就把函数f (x ) 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期） ①
y =sin x 与y =cos x 的周期是π.
②
y =sin(ωx +ϕ) 或y =cos(ωx +ϕ) （ω≠0）的周期T
π
ω
=
2π
.
③y =A t an(ωx +ϕ) 的周期为T =
y =tan
x π
的周期为2π（T =⇒T =2π，如图）
2（1）几个物理量：A ―振幅；f =
1
―频率（周期的倒数）；ωx +ϕ—相位；ϕ―初相；
T
（2）函数y =A sin(ωx +ϕ) 表达式的确定：A 期确定；ϕ由图象上的特殊点
确f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0，|ϕ|
π
2
) 15π
f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(x +) ）；
23
（3）函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的画法：
①“五点法”――设X =ωx +ϕ，令X ＝0，
π
2
, π,
3π
, 2π求出相应的x 值，计算得出五2
点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系：①函数y =sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ
1
ω
，得到函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象；
③函数y =sin (ωx +ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数
y =A sin(ωx +ϕ) 的图象；
④函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k >0）或向下（k
要特别注意，若由y =sin (ωx )得到y =sin (ωx +ϕ)的图象，则向左或向右平移应平移
|
ϕ
|个单位 ω
例：以y =sin x 变换到y =4sin(3x +π) 为例
3
y =sin x 向左平移
π
个单位 （左加右减）
π⎫⎛
y =s i n x + ⎪
3⎝⎭
横坐标变为原来的
1π⎫⎛
倍（纵坐标不变） y =sin 3x +⎪ 33⎭⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
1
y =sin x 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y =sin (3x )
向左平移
ππ⎫π⎫⎛⎛
个单位 （左加右减） y =sin 3 x +⎪=sin 3x +⎪ 9⎭3⎭⎝⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
注意：在变换中改变的始终是x 。
（5）函数性质（潜在换元思想）：求对称中心、对称轴、单调区间的方法（特别注意先ω>0）
sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” 9. 正余弦“三兄妹—sin x ±cos x 、
三角函数测试卷一
一、选择题：
1．若-
π
B ．第二象限
C ．第三象限
（ ）
D ．第四象限
A ．第一象限
2． “sin A =
1
2
”“A=30º”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知∆ABC 中，三内角A ．B ．C 成等差数列，则sin B =
（ A ．
12
B
C
D
4．设角α的终边经过点P （3x ，-4x ）（x ＜0），则sin α-cos α
的
A ．
71
15
B ．
1C ．7或-75
5
5
D ．5或-
5
5．sin 15
sin 30
sin 75
的值是（ ）、 A
B
11 C ．8 D ．4
6．已知sin x tan x
0 ）
A ．2cos x
B x C ．2sin x D ．-2sin x 7．在 ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，则该 ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形
D. 等腰或直角三角形
8．下列函数中，以π为周期的偶函数是
（ ）
A ．y =sin x
B ．y =sin x
C ．y =sin(2x +
π
3
) D ．y =sin(x +
π
2
) 9
．函数y =x 2+cos x
2
的最小值和最小正周期是（ ） A ．2，2π B ．－2，2π C ．－2，π D ．－2，4π 10．已知cos α=
13，α是锐角，cos(α+β) =-1
7
，则cos β=（ ） A
．
1 B
．-1C
．
-1-1±2121 21 D
．21
11．已知cos x +sin x =
1
5
，0
）
（
A ． -
43或-34 B ．-34 C ．-4
433
D ．-3或4
12．在∆ABC 中，若a=4，
b=∠A =30 , 则∠B 等于
（ ）
A.120
B.120 或30 C.60 D.60 或120
二、填空题
13．若sin(α+300
) =
3
5
，α∈(900, 1800) ，则sin α= 14．已知圆锥高为4, 底面半径为3, 则它的侧面展开图的圆心角为15．已知sin α=
1παα
3，且0
2
=。 16．已知sin α=2cos α，则sin 2
α+2sin αcos α=________
17．已知在△ABC 中，A=60°，
BC AB =5
2
，则sin C = 18．s in α、cos α是方程4x 2
+26x+m=0的两根, 则m 的值为 三、解答题
19．（本题满分8分）已知函数f (x ) =2cos 2
x +2sin(π-x ) sin(π
2
+x )
(1)求f (x ) 的最小正周期；
(2)若x ∈R ，求当函数f (x ) 取得最大值时自变量x 的集合．
20．在⊿ABC 中，BC =a , AC =b , a 、b 是方
程x 2
-+2=0
的两个根，2cos (A +B )=1，求(1)角C 的度数 (2)AB 的长 (3) ⊿ABC 的面积
且
21．已知 ABC 中, 满足sin A :sinB :sinC =2:3:4. 试判断 ABC 是什么形状?
22．已知α为锐角，且点(cosα,sin α) 在曲线6x 2+y 2=5上。
（1）求cos 2α的值
π
（2）求tan(2α-) 的值
4
23．已知点A （3，0），B （0，3），C(cosα,sin α)
（1） 若AC ∙BC =-1，求sin2α的值；
(2)
若OA +OC =O 是原点，且α∈(0,π) ，求OB 与OC 的夹角。
24．（1）求函数y =sin (2x +θ)的周期；（2）若θ=（1）中的函数取得最大值、最小值？
π
⎡ππ⎤
，x 在⎢-, ⎥上取何值时，3⎣22⎦
⎛π⎫⎛π⎫
（3）求证：2sin +x ⎪cos -x ⎪cos θ+2cos 2x -1sin θ=sin (2x +θ)。
⎝2⎭⎝2⎭
()