【图乘法求位移的几点思考】图乘法求位移
开发应用
图乘法求位移的几点思考
王
赟
（陕西理工学院土木工程与建筑系，陕西汉中７２３００１）
摘要：应用图乘法求结构位移比较简便，但若忽视适用条件会导致计算错误。本文通过具体实例对常见错误进行了归纳，对图乘法的特点和应用条件进行分析，为正确、灵活应用图乘法提供参考。关键词：结构位移；图乘法；应用条件
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－６３９６．２０１０．２２．０１４
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＭｅｔｈｏｄｏｆＤｉａｇｒａｍＭｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
ＷＡＮＧＹｕｎ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆｃｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，ＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｚｈｏｎｇ，Ｓｈａａｎｘｉ
７２３００１）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｉｓｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏａｐｐｌｙｄｉａｇｒａｍｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｗｈｅｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄ，ｂｕｔｆａｕｌｔｓｍａｙｅａｓｉｌｙｏｃｃｕｒｉｆｉｔｓａｐｐｌｙｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｉｇｎｏｒｅｄ．Ｃｏｍｍｏｎｍｉｓｔａｋｅｓａｒｅｃｏｎｃｌｕｄｅｄ，ａｎｄｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃａｎｄａｐｐｌｙｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎａｐｐｌｙｉｎｇｄｉａｇｒａｍｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎａｒｅａｎａｌｙｚｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｐａｒｔｉｃｕｌａｒｅｘａｍｐｌｅｓｉｎｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｔｏｕｓｅｄｉａｇｒａｍｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｃｏｒｒｅｃｔｌｙａｎｄｆｌｅｘｉｂｌｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ；Ｄｉａｇｒａｍｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；Ａｐｐｌｙｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ１
图乘法求结构位移计算公式
任何结构都是由可变形的固体材料组成，在荷载及其
［１－３］
角形，ＭＫ图的三角形和Ｍｉ图的等腰三角形相乘时，面积图形Ａ１可取自Ｍｉ图，ｙ１可取自ＭＫ图中的三角形；当ＭＫ图二次抛物线和Ｍｉ图等腰三角形图乘时，可先考虑各自相应一半图形的图乘，再乘以２即可，其面积图形Ａ２可取ＭＫ图二次抛物线的面积的一半，ｙ２可取自Ｍｉ图半个抛物线图形形心对应的竖标。而不要将面积图形全部取自Ｍ图，这样两个三角形图乘时，ＫＭＫ图就得分段，问题就变得繁琐了。
他因素的作用下，结构将产生变形和位移。为了验算结构
的刚度，我们必须确定结构的位移，并且位移计算是超静定结构内力计算的基础，可见位移计算是结构力学教学内容至关重要的一部分。
在结构力学中，对于梁和刚架，在荷载作用下，轴向变形和剪切变形一般很小，仅考虑弯曲变形就能满足工程的精度要求，所以结构的位移计算公式为：
从上式可以看出，要计算梁和刚架在荷载作用下的位移，应先写出，的方程式。一般情况下，每杆的、
变化规律各不相同，应分段列方程，计算比较复杂，若可采用图乘法进行计算，可使计算简化，此时结构位移计算式为：
２图乘法求结构位移注意事项
图乘法的适用条件：①杆件轴线为直线；②ＥＩ为常
，图形中至少有一个为直线图形［１－３］。对于等
３
数；③
图１
截面直杆，前两个条件自然满足。对于截面分段变化阶梯形的杆件，则需分段图乘求和。公式中竖标ｙＣ只能来自直线图形。所以如果两个图形均为直线图形，则竖标ｙＣ可取自其中任一图形。如果一个是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，可分段考虑，在直线图上取竖标ｙＣ。一般情况下尽量不要分段，如图１（ａ）和１（ｂ）两图形相乘，ＭＫ图可看作三角形叠加上标准的二次抛物线，Ｍｉ为等腰三
收稿日期：２０１０－０７－０１修回日期：２０１０－０７－２４
举例分析
如图２（ａ）所示悬臂梁，若要求悬臂梁Ｃ点的竖向位移
，ＥＩ为常数。学生常见错误主要有以下两种：（１）错将折线当直线：本题计算中一个常见的错误就是误将ＡＢ段的图
当成直线，取整个Ｍ的图形面积与相应的Ｐ
图纵标
（ｌ／４）相乘。（２）错将任何抛物线都按标准抛物线计算：本题计算中另一个常见的错误就是将ＡＣ段的ＭＰ图分解为一个
作者简介：王赟
（１９７７－），女，汉族，陕西华县籍，讲师，工学硕士，主要从事土木工程教学与研究工作。
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中国西部科技２０１０年０８月（上旬）第０９卷第２２期总第２１９期
矩形和一个抛物线图形后，错将抛物线当成标准抛物线图形（标准抛物线顶点处剪力为零）。
图２
我们下来就讨论正确的解法。
解法一：要搞清ＡＣ的受力情况，把悬臂梁在Ｃ点截开，对ＡＣ段的Ｃ截面进行受力分析，此截面有ＣＢ段给ＡＣ段的反作用弯矩和剪力，作用如图３（ａ），所以ＡＣ段上的ＭＰ图可视为荷载ｑ、ＭＣ和ＶＣ分别作用时的三个弯矩图叠加而成，将曲边梯形可分解为相应的标准抛物线图形（ｑ引起）、矩形（ＭＣ引起）和三角形（ＶＣ引起）三部分如图３（ｃ）。
解法二：可把ＡＣ段的受力情况看作在端力偶ＭＡ、ＭＣ和均布荷载ｑ共同作用下的简支梁如图３（ｂ）。因此，ＭＰ图的曲边梯形可看作由端力偶ＭＡ、ＭＣ引起的梯形及均布荷载ｑ引起的标准抛物线图形两部分叠加而成，其中梯形分解为一个矩形和一个三角形如图３（ｄ）。
图３
解法三：ＡＣ段的ＭＰ图的分解除了可按图３（ｃ）、（ｄ）分解外，还可有其他的方案，如图４所示，注意在图４（ｂ）中，抛物线在截面Ｃ处与斜直线（虚线）相切。但不管怎样分，都是分为三块相加，比较麻烦。我们提出下面一种方
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法，先用整体ＭＰ图（面积为Ａ１）对ＡＢ段
（相应竖标为ｙ１）
做图乘，在减掉多算的ＣＢ段，这样就使得问题简单，而ＣＢ段的Ｍ图怎么修改都可以，因为最后总是要减掉的，所以不妨直接将ＡＣ段延伸得到一直线，如图５（ｂ）所示，因此ＣＢ段图乘时面积取自ＭＰ图就为Ａ２，竖标取自为ｙ２，这样问题就解决了。
图４
图５
４
小结
对于梁和刚架，在荷载作用下，轴向变形和剪切变形
一般很小，仅考虑弯曲变形就能满足工程的精度要求，我们这时可以应用图乘法，但若忽略适用条件会导致计算错误。本文通过具体实例对应用图乘法常见错误进行了分析，指出了正确的求解方法，并讨论了一种比较简便的求解方法，为正确、灵活应用图乘法提供参考。
参考文献：
［１］龙驭球，包世华主编．结构力学［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，２００６第２版．
［２］杨茀康，李家宝主编．结构力学［Ｍ］．北京：高等教育出版
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［３］陈永龙．建筑力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４第２版．
［４］雷钟和主编．结构力学学习指导［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，２００５．