复数与复变函数题库_复数和复变函数
一．复数与复变函数 ㈠选择
1. 包含了单位圆盘|z|
B. -
π4
C.
π4 D. 3π4 3. 复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A. 直线 B. 圆周 C. 椭圆 D. 双曲线 4. 设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e 2+2x B.e |2i+2z| C.e 2+2z D.e 2x 5. 下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0π C.|z+ie|>4
D.
3
2
π
i 的辐角为（ ）
A ． arctan 1 B ．-arctan 12
C ．π-arctan 12
D ．π+arctan 12
2
7. 方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）
A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 8. 复数z =-3(cos
π
5
-isin
π
5
) 的三角表示式为（ ）
A ．-3(cos45π＋isin 45π) B ．3(cos44
5π, －isin 5π)
C ．3(cos45π, ＋isin 45π) D ．-3(cos45π, －isin 4
5
π)
9. 下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 10. 下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ）
A.z·
z =Re(z·z ) B. z·
z =Im(z·z ) C. z·
z =arg(z·z ) D. z·
z =|z| 11. 不等式-π
π
4
4所表示的区域为（ ） A. 角形区域 B. 圆环内部 C. 圆的内部
D. 椭圆内部
12. 设复数z 满足arg(z +2) =
π
3, arg(z -2) =5
6
π，那么z =( )
11A. -1+3i B. -+i C. -
2+2i D. -2+2
i 13. 复数方程z=2+e i θ(θ为实参数，0≤θ
B ．圆周 C ．椭圆
D ．抛物线
14. 已知arg z 2=π
4，则argz=（ ） A ．π B ．
π8 4
C ．
π2
D ．π
15. z =2cos t +i 3sin t ,0≤t
3
) 的三角形式是( ) 。 A. (cos2π+isin2π)
B. (cosππ
333+isin3) C. (cos
2π3
+isin-2π
3)
D. (cos
-π-π3+isin3
) 20. 设z=3+4i,，则Re z2=( ) A ．-7
B ．9 C ．16
D ．25
21. 设z =3-4i ，则Im(z 2
) =( )
A. -7 B. 9 C. -24 D. 25
22. 设z =-3+4i ，则z 2
=( )
A. -7 B. 9 C. -24 D. 25
23. 下列复数中，使等式1
z
=-z成立的是( )
A ．z=e2πi B ．z=eπi
3πC ．z=e -π
2i
D ．z=e 4i
24. 设0
A ．z=(1+i)t B ．z=eit +2i
C ．z=t+i
t
D ．z=2cost+i3sint
25. 下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0
C ．|z-3|+|z+3|4
26. 复数z =-1+3i 的幅角主值为（ ） A.
2π3
B.
π6 C. -
π6
D. -
2π3
27. 已知复数z =-3+4i ，则arg z =( )
A. arctan
43 B. -arctan 43 C. π-arctan 443 D. -π+arctan 3
28. 已知复数z =2i
-1+i
，则Re z =( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
29. 若z 3=1且Imz>0，则z 一定是（ ） A.1
B. -
132+2i C.
12+2
i
D. -
12-2
i 30. 若z 3
=1且z 在第二象限，则z 一定是（ ） A.1
B. -
12+3
2i C.
12+2
i
D. -
12-2
i 31. 若z 3
=-1且Re z >0，则z 一定是（ ）
A. -1
B. -
12+32
i C.
12+2
i D.
13
2-2
i 32. 下列点集不是．．区域的是（ ） A.{z|Rez>0} B.{z|Rez
C.{z||z|≤|i|} D.{z||z|>1}
33. 下列方程不表示．．．圆周的是（ ） A.z=3eit -1(0≤t
B.z=reit (r>0,0≤t
D.z-z =i
34. 设z=1+2i，则Im z3=（ ） A.-2 B.1 C.8
D.14
35. 设z =1-2i ，则Im z 2
=( )
A. 2 B. -3 C. -4 D. -11 36. 设z =1-2i ，则Re z =( ) A. 2 B. -3 C. -4 D. -11
37.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t
A.
π
4 B.
3π4 C. -π4
D. -3π4
42. 设z =-1+i ，则arg z =( )
A.
π4 B.
3π4 C. -π4
D. -3π4
43. 下列区域为有界单连通区域的是（ ） A. 0
B. 2≤Re(z ) ≤4 C. z +(1+i ) ≤1
D. z
44. 已知z =⎛ 1+i ⎫8
⎝1-i ⎪⎭
，则z 66+2z 33
-2的值为（ ）
A. -i B. 1 C. i D. -1
45. 方程Im z 2
=1所代表的曲线是（ ） A. 圆周 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
46. 下列方程所表示的曲线中，（ ）是圆 A. z -2+z +2=5 B.
z -1
z +1
=2 C. z +Re(z ) =1 D. Re(z 2) =2 47. 已知方程z 3-iz 2
-z +i =0，则（ ）不是它的根 A. i B. -i C. 1 D. -1
48. 复数z =i 的指数表示式为（ ） ππA. e 2
B. e
-
π2
C. e
i
2
D. e
-i
π
2
49. 复数z =1+i 的三角表示式为（ ） A. 2(cos
π
3+i sin
π
3) B. 4(cos
π
3+i sin
π
3)
C. 2(cos2π2π2π3+i sin 3) D. 4(cos3+i sin 2π3
) 50. 下列函数不在复平面上处处连续的是（ ）
A. w =Re z B. w =z Im z C. w =z 2
D. w =arg z
51. 下列结论成立的是（ ）
A. i 2i C. Im(i ) Im(2i ) 52. 下列命题为假的是（ ）
A. 若c 为实常数，则c = B. 若z 为纯虚数，则z ≠ C. 复数不能比较大小 D. 零的辐角是零 53. 下列命题为真的是（ ）
A. 1+i >1-i B. 仅存在一个数z ，使得1
z
=-z C. z 11+z 2=z 1+z 2 D. i
=iz 54. Re(i ) =3所表示的曲线为（ ）
A. x =3的直线 B y =3的直线 C. y =-3的直线 D. x =-3的直线 55. 下列方程所表示的曲线中，（ ）是直线
A. z -5=6 B. z +3+z +=4 C. z +i =z -i D. Im(z )
A. z -2+z +20 C. 2≤z ≤4 D. 0
z →0z
= ( )
A. 0
B. 1
C.
12
D. 2
58. 复数z =(-1+i ) 7=( )
A. -8(1+i ) B. -8(1-i ) C. 8(1+i ) D. 8(1-i ) 59. 复数(1+3i ) -10=( )
A. 2-11(1+i ) B. 2-11(-1+3i ) C. 2-11(1-i ) D. 2-11(-1-i ) 60. 已知z =(3-i ) 6，则arg z =( ) A.
π2
B. -π
2 C. π D. -π
61. 已知f (z ) =x 2-y 2-2y +i (2x +2xy ) ，则f (z ) 关于z 的表达式为（ A. z 2
+2z B. z 2
-2z C. z 2-2iz D. z 2
+2iz
62. 已知w =1
z
，则Re w =( ) A.
-x x 2+y 2 B. x x 2+y 2 C. -y y
x 2+y 2 D. x 2+y
2
63. 已知w =1
z
，则Im w =（ ） A.
-x x 2+y 2 B. x x 2+y 2 C. -y x 2+y 2 D. y
x 2+y
2
54. 不等式2≤Z ≤3表示（ ）。
A. 单连通有界开区域 B. 单连通有界闭区域； C. 复连通有界开区域 D. 复连通有界闭区域。 65. 不等式0
A. 单连通有界开区域 B. 单连通有界闭区域； C. 复连通有界开区域 D. 复连通有界闭区域。 67. 不等式Z >5表示（ ）。 A. 单连通有界域 B. 单连通无界域； C. 复连通有界域 D. 复连通无界域。
）
68. 已知z =-1-i ，则Argz =( ) A. 3π+2k π B. 5π+2k π C. 3
4-
4π D. 544
π 69. 下列函数中是多值函数的是（ ） A. w =arg z (z ≠0) B. w =
1z
C. w =z 2
D. w =z 70. 已知z =
1+3i
2
，则Re(z 4) =( ) A. -
12 B. 12 C. -2 D. 2
71. 已知z =-i ，则
z 8-4z 21+z =( )
A. 1-3i B. 1+3i C. 1-5i D. 1+5i
72. 已知z =
1
1+i ，则arg z =( ) A. -3π4 B. -π4 C. π3π4
D. 4
73. 已知(3+6i ) x +(5-9i ) y =6-7i ，则x , y 分别为（ ）A. 1
, 1 B. 131,
3 C. (-1, -13) D. (-1, 13
) 74. 已知(1+i ) x +(1-i ) y =3+2i ，则x , y 分别为（ ） A.
12, 52 B. 52, 1
2
C. 1, 2 D. 2, 1 75. (1+i ) 10000
=( )
A. -2
10000
B. 210000
C. -2
5000
D. 2
5000
76. (1-i ) 10000
=( )
A. -2
10000
B. 210000
C. -2
5000
D. 2
5000
77. 复数z =sin π
3
-i cos
π
3
的三角形式为（ ）
A. cos
π
6+i sin
π
6 B. sin(-
ππ
3) +i cos(-3) C. cos(-π6) +i sin(-π7π6) D. cos 6+i sin 7π
6
78. 复数z =3i (-i )(1+i ) 的值为（ ）
A. -6-63i B. -6+63i C. 6-6i D. 6+63i
33
79. 已知z =⎛
1+i ⎫⎝2⎪⎭+⎛ 1-i ⎫
⎝2⎪⎭
，则z =（ ） A. -
2 B. -2+2i C. 2-2i D. 2+2i
80. 已知z =(-1+i ) 6，则=( ) A. -8 B. 8 C. -8i D. 8i
81. 已知方程z 3
=8，则（ ）不是它的根 A. 2 B. -1-i C. -1+i D. 1+i 3 82. 已知方程z 4+i =0，则（ ）不是它的根
A. cos
π
+i sin
π
B. cos
3π3888+i sin π8
C. cos 7π8+i sin 7π8 D. cos 11π8+i sin 11π8
83. 已知z =x +iy 满足Re(z 2+2) =4，则x 与y 的关系为（ ）A. xy =1 B. -x 2-y 2=2 C. x 2-y 2=2 D. x 2+y 2=2 84. 已知z =(-1+i ) 6，则z =( ) A. -8 B. 8 C. -8i D. 8i 85. 已知
z =
-21+i
，则arg z =（ ）
A. -
π
B. -
233π C. π2
3 D. 3
π
86. 已知z =i
-2-2i ，则arg z =（ ）
A. -π4 B. -34π C. π4 D. 34
π
87. 已知z =(3-i ) 6，则arg z =（ ） A.0 B. -
π
2
C.
π
2
D. π 88. 已知z =(-1+3i ) 6，则arg z =（ ） A.0 B. -
π
2
C.
π
2
D. π 89. 下列复数在第三象限的是（ ）
A ．1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
90. 已知z =x +iy 满足Im(z 2-2) =2，则x 与y 的关系为（ ） A. x 2-y 2=4 B. xy =1 C. xy =4 D. x 2+y 2=4 ㈡填空 1. 设f (z ) =
1
，则f (z ) 的定义域为___________。 z 2+1
z →z 0
2. 设f (z ) =(x 2+2xy ) +i (1-sin(x 2+y 2), ∀x +iy ∈C ，则lim f (z ) __________。 3. 若z n =
n +21
+i (1+) n ，则lim z n =__________。
n →∞1-n n
5. 设f (z ) =(x 2+2xy ) +i (1-sin(x 2+y 2), ∀z =x +iy ∈C ，则
z →1+i
lim f (z ) =_________。
6. 设f (z ) =7. 设z =
1
，则f (z ) 的定义域为__________。 sin z
1
，则Re z =__,Im z =___。 1-i
8. 设z =1-3i ，则|z |=__,arg z =__,=__。 9. x =__,y =__时，
x +1+i (y -3)
=1+i 。
5+5i
10. 设z =-i ，则|z |=__,arg z =__,=__。
11. 设z =1-i ，则z 关于实轴的对称点为___， z 关于虚轴的对称点为___，z 关于原点的对称点为___。
12.arg (-1+3i )= 1+i
13. 若z =，则z =___________.
-i
14. 复数z =4+48i 的模|z|＝_____________________。 15. 设z =(1+i)
100
，则Imz ＝______________________。
16. 设z=x+iy，其中x>0，y18. 方程α +α =c(α为非零复常数，c 是实常数) 所表示的z 的轨迹为_______. 19. 多项式p(z)=z8-5z5-2z+1在单位圆内有_______个零点. 21设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为. 22. 方程z 3+1=0的所有复数根为___________.
1-i
23. 复数z =的指数形式为___________.
2
24. 平面点集E={（x,y ）|x2+y2-2y ≤0}（其中z=x+iy）用复数模的不等式可表示成___________. 25.arg(3-i)=___________. 26.Z=x+iy,已知x=-1,argZ=
πi 2e 33πi e 4
-2π
, 则y,|Z|分别等于________. 3
27. Z=则argZ=________.
i
28. 曲线的复数方程为Z=t-,t ≠0. t∈R ，它的直角坐标方程是________.
t
29.z=6+i,则 |z|=__________，argz=__________. 30.z=e-3+i则argz=__________.
31. 复数-1+i 的三角形式是__________.
32. 一曲线的复数方程是|z-i|=1,则此曲线的直角坐标方程为__________. 33. 在复数x+iy中满足______的i 称为虚数单位.
34. 两个复数z 1=r1(cosθ1+i sinθ1) ，z 2=r2(cosθ2+isinθ2) 相等的充要条件为r 1=r2，______. 35. 对于z ≠0，满足方程z=wn 的n 个w 可表示为（用指数形式）w k =______（k=0,1,…,n-1）.
(cos5θ+i sin 5θ) 5
36. 复数z =的三角表示式为______________________。
(cos3θ-i sin 3θ) 3
37. z =t (1+i ) 表示的曲线用实直角坐标方程表示为_______________。
3
38. 已知映射w =z ，则区域0
π
3
在w 平面上的象为__________________。
(3+4i ) (-1+i ) 12
39. 设z =，则z =__________________. 5
(2i ) (1+2i )
5
40. 一复数对应的向量按顺时针旋转π后，对应的复数为-+i ，则原复数为
6
z =________________.
41. 设z 1=
12
1+i 21+i 2
, z 2=-i ，则z 1⋅z 2的指数形式为__________________。
42. 设z 1=, z 2=3-i ，则
z 1
的三角表示式为________________。 z 2
43. 映射w =
1+i 22
将圆周x +y =4映成w 平面上的曲线_______________。 z
44. 极限
lim
z →1
3z --3
=______________.
z +1
2
45. x =_____,y =_____时，等式x +1+i (y -3) =(1+i ) 成立.
46. 已知z =-2+5i ，则z 的指数表示式为________________.
47. 已知z =i (+i ) 2(1+3i ) ，则z =___________.
48. 已知z =1+3i 3，则z =_________________. 2
49. 复数z =1+cos θ+i sin θ(-π
50. 设z 1=-1+i , z 2=-1+i ，则arg z 1⋅z 2=_________________.
51. 方程z -2i =0的所有的根为_______________________。
52. 已知z =
53. 已知z
54. 已知z
55. 已知z 213i -，则Re z =_____________. i 1-i 13i =-，则Im z =_____________. i 1-i 13i =-，则z =________________. i 1-i (3+4i )(2-5i ) =，则arg z =__________________. 2i
56. 已知z =(3-i ) 5，则arg z =_________________.
57. z =a cos t +ib sin t , (a , b 为p 实常数) 表示的曲线用实直角坐标方程表示为____________. 58. z =t +表示的曲线用实直角坐标方程表示为____________. 59. z =t +2i t i 表示的曲线用实直角坐标方程表示为____________. t 2
1
2(3+4i ) (-1+i ) 12
60. 设z =，则arg z =______________. 5(2i ) (1+2i )
(1+i ) n
61. 化简为___________________。 (1-i ) n -1
62. (1+i ) 2000+(1-i ) 2000=_______________________.
63. 已知z =64. 已知z =2+i ，则z +=________________. 3-i 2+i ，则z -=________________. 3-i
it 65. 曲线z =re +3(0≤t
66. 平行于虚轴，且距虚轴为a 的直线的方程为______________________.
67. 以Z 0为心，R 为半径的圆的方程为_____________________.
68. 若Z =r (cosθ+i sin θ) ，则Z n =[r (cosθ+i sin θ)]n =__________________________.
69. 若Z =a +bi ，则⋅Z =_________________.
70. 若Z =a +bi ，则Z 的共轭复数为_____________________.
3-i 的实部为______________，虚部为_________________. 2+i
72. 复数z =2+5i 化为三角式和指数式________________________. 71. 复数z =
㈣证明
1. 若函数f (z ) 在z 0处可导，则f (z ) 在z 0连续。
2. 证明z -6z +3=0方程在1
3. 证明：方程z -4z +z -1=0在开单位圆内根的个数为5。
4. 方程z +9z +6z -1=0在单位圆内的根的个数为6。
5. 若函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在D 内连续，则二元函数u (x , y ) 与v (x , y ) 都在D 内连续。
6. 方程24z +9z +6z +z +1=0在单位圆内的根的个数为7。
7. 证明：
（1）、z 1+(z 2+z 3) =(z 1+z 2) +z 3，并作图。
（2）、z 1(z 2+z 3) =z 1z 2+z 1z 3。
8. 证明：
（1）、当且仅当z =时，复数z 为实数；
（2）、设z 1、z 2是两复数。如果z 1+z 2和z 1z 2都是实数，那么z 1和z 2或者都是实数，或者是一对共轭复数。
9. 设z 1、z 2实、是两复数，求证： [1**********]
|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2-2Re z 12。
10. 设z 1、z 2实、是两复数，求证：|z 1-z 2|≥||z 1|-|z 2||。
11. 设z 1、z 2实、是两复数，求证：|z 1+z 2|+|z 1-z 2|=2(|z 1|+|z 2|) ，并说明其几何意义。 2222
12. 设z =x +iy ，证明：|x |+|y |≤|z |≤|x |+|y |。 2
13. 如果|z 1|=|z 2|=|z 3|，且z 1+z 2+z 3=0，证明z 1、z 2、z 3是内接于单位圆的一个正三角形。
14. 求证：(1+cos θ+i sin θ) n =2n cos n θ
2(cosn θn θ
2+i sin 2)
15. 设|z 0|
1-zz =1。
16. 设|z z -z 0
0|
17.(5分) 试证：设z -1
z +1是纯虚数，则必有|z|=1.
18. 若z 1=z 2=z 3=1，z 1+z 2+z 3=0，则z 1-z 2=z 2-z 3=z 1-z 3 .