导数讨论函数零点问题 导数在解决函数问题中的应用

　　摘要:本文从五个方面论述了导数在解决函数问题中的应用。主要内容包括:应用导数求解函数的单调性;应用导数求解函数的极值或最值;应用导数求解不定式极限;应用导数进行近似计算等。
　　关键词:导数 函数 应用 教学研究
　　中图分类号: 文献标识码:A文章编号:1007-9416(2010)05-0000-00
　　
　　导数及其在函数问题中的应用是高职数学教材的新增内容,它的注入为高职数学教学增加了新的活力。利用导数求解和分析函数的单调性、极值以及切线方程等问题具有重要意义。本文主要从以下五个方面讨论了导数的应用,具体分别为:应用导数求函数的单调性、求函数的极值或最值、求曲线方程、求不定式极限以及应用导数近似计算。其中每一部分都是以相关定理为开头展开论述,然后用正反两例来讨论导数的具体应用。
　　
　　1应用导数求解函数的单调性
　　根据导数的定义可知,导数 为 在点 处关于 的变化率。当变化率大于零时,函数单调递增;当变化率小于零时,函数单调递减。
　　定理1:设函数 在某区间内可导,若 ,则 为增函数;若 ,则 为减函数;相应的区间为单调增或单调减区间。
　　例1[1] 求函数的单调区间。
　　解: ,此时函数 在( )单调递增,当 ,此时函数在( )单调递减。
　　注:在利用上述定理,在求函数的单调性时,一定要注意此定理不是充要条件。 在( )上单调增(单调减)的充要条件为 且 在任意子区间上不恒为0,我们不能因为充要条件的问题造成多解或漏解。
　　例2[2]已知函数在R是单调增函数,求实数m的取值范围。
　　分析:当 , 在其定义域是单调增,但反之不尽然,如 是R上的单调性增函数但 并不是恒大于0( ),因此本题应该是 。
　　
　　2应用导数求解函数的极值或最值
　　 函数极值不仅在实际应用问题中占有重要地位,而且也是函数性态一个重要特征。费马定理[1]已经告诉我们,若函数 在点 处可导,且 为 的极值点,则 。这就是说导函数在点 处取极值的条件为 ,下面介绍求极值的方法和步骤。
　　设函数 在某区内可导,求 的极值的方法和步骤是:
　　①求 的根;②检查 在方程 左右值的符号,如果左正右负,那么 在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么 在这个根处取得极小值,如果左右符号不变,那么 在这个根处无极值。
　　例3[3]求的极值点与极值。
　　由上表可见,点 为 的极大值点,极大值 为 的极小值点,极小值 。
　　注:求导可以用来求极值,但在某一点处不可导也不一定没有极值,此题 在 处不可导,但是 在此处取得极大值。同时我们在解题过程中也不能将极值点与稳定点等同,极值点一定是稳定点,反之则不立。
　　例4[6]若函数有仅仅有一个极值点,求a的取值范围。
　　错解:由 得: 或 , 有且仅有一个极值点, 无实根, ,即 。
　　分析:以上解法看似合理,但结果有误,原因就在于将稳定点等同于极值点, 有一个极值点不等价于 有且仅有一个实根,在方程 中, ,即 , ,通过列表可得,这时 虽然有两个稳定点,但这两个稳定点均不是极值点,因此 。
　　
　　3应用导数求解不定式极限
　　在高职数学中,我们学习了不定式极限,知道了不定式极限的种类很多,大致可分为 、 、 、 等类型,其后几类统统可化为 、 型,现在只介绍 型。
　　解:容易验证 在 的邻域满足上述定理条件①②③,又因为
　　注意:不能对任何不定式极限都按上述定理求解,一定要注意检验所求解的不定式极限是否满足上述定理中的①②③三个条件。
　　
　　4应用导数进行近似计算
　　导数在近似计算上的应用是非常重要的,它用线形近似的思想来对复杂问题进行简化,其思想是当 充分逼近 时,我们可以用切线近似代替曲线,以求得近似值。
　　定理3:若函数在 处可导,根据导数定义可得,
　　例6[3]设钟摆的周期是1秒,在冬季摆长至多缩短0.01cm,试问此钟每天最多可快几秒?
　　解:由物理学知道,单摆周期T与摆长 的关系为
　　其中g是重力加速度,已知钟摆周期为1秒,故此摆原长为
　　当摆长最多缩短0.01cm时,摆长的增量 ,它引起单摆周期的增量
　　这就是说,加快了大约0.0002秒,即此钟摆每天大约快了
　　导数在解决函数问题中的应用极为广泛,除了本文所论述的五个方面之外,它还包括导数在数列求和、不等式证明以及三角函数求值等方面的应用,但文中未能一一提及。还有,本文在论述应用导数求函数极值或最值时,有关导数在不可导点处能不能取得极值?极值是不是等同于最值?这些问题本文也未进行更加深入的研究和回答。对于这些遗留的问题,将在以后的教学中逐步地加以探讨和解决。
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