用洛必达法则证重要极限 [两个重要极限的证法初探]

　　【摘要】 用极限的思想去研究函数是高等数学的重要研究方法之一,为此关于函数极限的求法成为了高等数学的一个重点,因而两个重要极限显得尤为重要,而在高等数学教材中关于重要极限的证明都是基于实数理论,具有一定难度,特别是第二个重要极限值的得来更难理解,本文介绍了几种关于重要极限的简洁证明方法,能给读者的理解带来一些方便。
　　【关键词】 重要极限 无穷小量 洛必达法则 夹逼准则 驻点 连续
　　【中图分类号】 O171 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0139-01
　　1 的证明
　　1.1 利用圆的面积公式证明
　　证明:设圆的半径为,圆心为,作圆的内接正边形,设为其一边,为其所对的圆心角,则,所以三角形的面积为
　　(1)
　　故内接正边形的面积
　　(2)
　　由极限的思想可以得知,当边形的边数无限增大时,则边形无限接近于圆周,故边形得面积无限接近于圆的面积,即
　　(3)
　　所以,由归结原理得到:
　　1.2 利用夹逼准则证明
　　夹逼准则 若变量满足;
　　(1)
　　(2),则
　　证:首先,函数对于一切都有定义,如图1-1所示,圆为单位圆,。圆心角为,所以,,由于(1)
　　所以
　　即(2)
　　不等式两边同时除以,得
　　即
　　因为,由夹逼准则得到:
　　2 的证明,利用夹逼准则证明
　　引理 设,其中,是一个正数,则满足
　　1)当时,取得最大值;
　　2),;
　　3)
　　4)
　　证1)在上时可导的,即
　　令,得驻点,且当时,则;当时,,由极值判别法知:当时,函数取得最大值。
　　2)由1)知当时,取得最大值,所以;
　　同理函数在上只有一个驻点,此时函数取最大值,故
　　3)由2)知和,即和
　　故
　　4)由3)知:
　　不等式两边同乘以,得
　　,即,所以,即
　　定理
　　证 由引理4)知,因为,由夹逼准则知
　　参考文献
　　[1] 赵明.关于重要极限的推证及应用[J].张家口职业技术学院学报,2008,21(3):79-80.
　　[2] 易良海,许伯生.高等数学(上)[M].上海:上海交通大学出版社,2008:24-25,72.