新课标导数_浅谈新课标下导数教学的实践与体会

　　摘要：数学史的教学，主要是为了开拓学生眼界，启发学生的创造性思维，全面提高学生的数学素养。中学教材中数学史知识的渗透,数学文化指数学知识、数学发展历史，还指数学精神、数学思维方法、研究方法等，本文选取数学文化中的两个侧面——数学史知识和数学思想方法。新课程高中数学教材“导数”部分内容数学文化的渗透进行了解读和比较研究。
　　关键词：数学文化数学史导数教学
　　数学文化是以数学基础知识为主线，以数学的知识、精神、思想、方法、理论等所涉及的相关文化领域为组成部分的强大体系。从这个意义上讲，数学本身就是文化，正如《普通高中数学课程标准》指出的，数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。我们拮取数学文化的两个侧面——数学史知识和数学思想方法，对人教版高中数学教材中“导数”部分内容中渗透数学文化的情况进行了对比研究。
　　一、注意原函数的定义域
　　例1已知函数f(x)=x2x-1，试求函数f(x)的单调递减区间。
　　错解：由f′(x)=x(x-2)(x-1)2，欲求f(x)的单调递减区间，只需f′(x)=x(x-2)(x-1)2<0，得0　　所以f(x)的单调递减区间为(0,2)。
　　剖析：错解出现的原因是忽视了原函数的定义域，利用导数研究函数的特征时仍不能忽视原函数的定义域。
　　解：由f′(x)=x(x-2)(x-1)2，欲求f(x)的单调递减区间，只需f′(x)=x(x-2)(x-1)2<0，得0　　又由于在原函数中，分母x-1≠0，
　　所以f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,2)。
　　二、弄清“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别
　　例2已知曲线y=13x3+43，则过点P(2,4)的切线方程是[CD#4]。
　　错解：对函数求导可得y′=x2，由于切点为P(2,4)，故可得切线的斜率k=y′|x=2=4，故所求的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0。
　　剖析：导数的几何意义是：函数y=f(x)在x0处的导数是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。解题过程遗漏了切线方程x-y+2=0。错误的原因是把过点A的切线理解成曲线在点A处的切线，认为切线是和曲线仅有一个公共点的直线。
　　解：设切点坐标为(x0,y0)，又因为切点在切线上，故有y0=13x30+43。[JY]①
　　对原函数求导得y′=x2，所以切线斜率为k=x20。又因切线过点P(2,4)，所以切线方程为4-y0=x20(2-x0)。[JY]②
　　由①②得x0=2，y0=4或x0=-1，y0=1。
　　故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0。
　　[TPy6-6.tif；Z*2，Y#][TS（][JZ][HT6H]图1[TS）]
　　三、弄清导函数与原函数图象间的关系
　　例3设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图1所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（）。
　　[TPy6-7.tif；X*2，BP#]
　　（A）（B）（C）（D）
　　错解：学生在解这道题时，误认为原函数的单调性与导函数的单调性相同，发现B、D选项有点像，从而误选。有些学生根本弄不清原函数的单调性与导函数的单调性之间的关系，以至于乱选的情况也存在。
　　剖析：对于连续的函数f(x)，当导函数的图象在x轴的上方时，即导数大于零时，对应的x的区间即为原函数的增区间；当导函数的图象在x轴的下方时，即导数小于零时，对应的x的区间即为原函数的减区间。
　　解：由导函数的图象可知，原函数f(x)在(-∞,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数。由此可判断出选项C符合条件。
　　高中阶段数学文化的学习，通过介绍一些对数学发展起重大作用的数学知识，让学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。数学文化是一种知识，使人获得数学知识并应用于实际生活；是一种文化，使人得到数学方面的修养，更好地理解、领略和创造现代社会文明；是一种思维，使人反应敏锐，表达清楚；是一种方法，使人善于处理解决各类事物，提高工作效率；是一种精神和态度，使人实事求是，锲而不舍，坚持不懈地追求真理。因此，高中阶段渗透数学文化的教学，不仅是开拓学生视野，提高学生数学素养的需要，更是锻炼学生思维，培养创新品质的需要。
　　（作者单位：河南省济源一中）