有关球体的公式 球体表面积

球体表面积

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。 1公式 球体表面积公式2公式证明 把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份，

每份等高

并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)×h

其中r(k)=√[R^2-﹙kh）^2],

h=R^2/{n√[R^2-﹙kh）^2}.

S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n

则 S=S(1)+S(2)+„„+S(n)= 2πR^2;

乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;

可以把半径为R的球看成像洋葱一样分成n层，每层厚为=，设第k层与球心的距离为r=r(k)=k，面积为一个关于r(k)的函数设为S(r)，则k层的体积V(k)=S(r)*， 所以V=V(k)=S(k)*=S(r)*Δr=,也就是V(r)=，有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同时求导就可得S(r)=4πr^2

一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．

一个圆锥的体积等于与它等底等高 的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh（V=πr^2h），得出圆锥体积公式：

S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径。

证明：

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径：n×r÷k

第 n份底面积：pi×nx2×rx2÷kx2

第 n份体积：pi×h×nx2×rx2÷kx3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3

∵1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

∴总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3

=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3

=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

∵ 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0

∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

∵ V圆柱=pi*h*rx2

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

半球体积的计算 由祖暅原理，半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体，即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

容易得体积为2/3×π×r^3(三分之二乘派乘半径的三次方)。

球的体积：

a) 在给出半球的概念后，让学生进一步思考如何计算出半球的体积，进而求出整

个球的体积。这里我们采用分割的方法来计算球的体积。

下面用多媒体演示球的分割示意图，如图，把垂直于底面的半径OA作n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积。这样球的体积就转化为薄圆片的体积和。再进一步引导学生求出这些薄圆片的体积和。

“薄圆片”的厚度Rn由勾

股定理可得可以算出第i层（由下向上数）“薄圆片”的下底面半径（rii1,2,3,,n，）

以此求得第i层“薄圆片”的体积

RR3i12[1()]，i1,2,3,（Virinnn2,n，）

那么半球体积也就很容易求出

（V半球V1V2Vn

(n1)2

[1]} n2

] 122{1[12][12] nnn R3R3

n[n1222

n(n1)22

R3

n[n1(n1)n(2n1)] n26

∴半球的体积V半球11(1)(2)] ①） R3[16

设计意图：体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的数学思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。 另外通过多媒体课件的演示，让学生更直观的观察出球是怎样被分割的，以便于引导学生推出半球的体积公式。这样将抽象概念生动、直观地通过多媒体课件展示出来，从视觉上刺激学生，激发学生探索的兴趣，引导学生用所学知识解决实际问题。

b) 紧接着第二步，让学生深入下去，进而推导出半球更为精确的体积公式。 适时的给出提示：当n不断变大时，半球的体积会越来越精确，若n变为无穷大时，趋向于0，这时半球的体积公式便出来了。 1n

（V半球11(1)(2)]R3112R3） R3[1633

4R3．也就出来了。 3进而球的体积公式V