正弦定理公式
正弦定理公式_高中数学正弦定理和公式适用条件
正弦定理和公式直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理:在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有＝ ＝ ＝ sin A sin B sin Cabc2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．正弦定理的变形公式: (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式． (4) asinB=bsinA （5）a=bsinA/sinB bsinC=csinB asinC=csinAsinB=bsinA/a在解三角形中的应用： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用 a：b：c=sinA：sinB：sinC 解决边角之间的转换关系 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的 直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和 其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方 法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) （4）设 R 为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为 90°时，所对的边为外接圆的直径。
正弦定理公式_1.1.1正弦定理公式及练习题
1.1.1 正弦定理 一、引入 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这 个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定 理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。
二、新授 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c ? ? ? 2 R （注：为△ABC 外接圆半径） sin A sin B sin C2、正弦定理常见变形： （1）边化角公式： a ? 2 R sin A ， b ? 2 R sin B ， c ? 2 R sin Ca b c ， sin B ? ， sin C ? 2R 2R 2R （3） a : b : c ? sin A : sin B : sin C a b c a?b?c ? ? ? ? 2R （4） sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C a b a c b c ? ， ? ， ? (5) sin A sin B sin A sin C sin B sin C（2）角化边公式： sin A ? （6） a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B 3、三角形中的隐含条件： （1）在△ABC 中， a ? b ? c , a ? b ? c (两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2） 在△ABC 中，A ? B ? sin A ? sin B；A ? B ? cos A ? cos B；a ? b ? A ? Bcos(A ? B) ? ? cosC, （3）在△ABC 中， A ? B ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C，sin A? B C ? cos 2 2考试·题型与方法 题型一：解三角形 例 1： （1）在△ABC 中，已知 A=45°，B=30°，c=10，解三角形； （2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求 b 的值及三角形外接圆的半径。变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形： （1） a ? 10，b ? 20，A ? 60?； （2） b ? 10 ，c ? 5 6，C ? 60?； （3） a ?2，b ? 3，A ? 45?；例 2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A. a ? 8, b ? 16, A ? 30?有两解 B. b ? 18, c ? 20, B ? 60?有一解 C. a ? 15, b ? 2, A ? 90?无解 D. a ? 30, b ? 25, A ? 150?有一解 题型二：判断三角形的形状 例 3：若sin A cos B cos C ? ? ,则△ABC 为（ a b c）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D. 有一个内角为 30°的等腰三角形 变式训练： 在△ABC 中，若 sin A ? 2 sin B cosC, 且sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,试判断△ABC 的形 状。
题型三：范围与最值问题 例 4：设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2b sin A （1） 求 B 得大小； （2） 求 cos A ? sin C 的取值范围。题型四：正弦定理与三角恒等变换 例 5：设函数 f ( x) ?1 3 sin x ? cos x, x ? R. 2 2（1）求函数 f ( x) 的最小正周期和值域；（2）设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 f ( A) ? 求 C 得值。3 3 , 且a ? b, 2 2
正弦定理公式_正余弦定理公式总结
正余弦定理公式总结1、正弦定理：在 ??? C 中， a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边， R 为 ??? C 的外接a b c ? ? ? 2R ． sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式：① a ? 2 R sin ? ， b ? 2 R sin ? ， c ? 2 R sin C ； a b c ② sin ? ? ， sin ? ? ， sin C ? ； 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ； a?b?c a b c ? ? ? ④ ． sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式： S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? ． 2 2 2圆的半径，则有4、余弦定理：在 ??? C 中，有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? ， b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ，c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ．cos 5、 余弦定理的推论： ? ?b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos cos ， ?? ， C? ． 2bc 2ab 2ac6、 a 、b 、c 是 ??? C 的角 ? 、? 、C 的对边， ①若 a 2 ? b2 ? c2 ， C ? 90? ； 设 则： 则 ②若 a 2 ? b2 ? c2 ，则 C ? 90? ；③若 a 2 ? b2 ? c2 ，则 C ? 90? ． 典型综合练习：1.在△ABC 中，A＝60° ，B＝75° ，a＝10，求 c2.已知 a，b，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，求角 C 的大小为3．在△ABC 中，已知 sin Acos B＝sin C，判断△ABC 为什么三角形 4．若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC 为什么三角形5．△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30° ，则△ABC 的面积为多少3 6．在△ABC 中，2b＝a＋c，∠B＝30° ，△ABC 的面积为 ，那么 b 值为 27．已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3， A＋C＝2B，求 sin A8．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B＝ 2， 求角 A 的大小 9．设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，且 3b2＋3c2－3a2＝4 2bc. (1)求 sin A 的值； π π 2sin?A＋4?sin?B＋C＋4? ? ? ? ? 1－cos 2A(2)求的值．10．已知平面四边形 ABCD 中，△BCD 为正三角形，AB＝AD＝1，∠BAD＝ θ，记四边形的面积为 S. (1)将 S 表示为 θ 的函数， (2)求 S 的最大值及此时 θ 的大小．11.在 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? （Ⅰ）求 sin C 的值； （Ⅱ）求 ?ABC 的面积.?3， cos A ?4 , b ? 3 . w.w. 5 12.在 ?ABC 中，内角 A，B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ，求 a,b； (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ，求 ?ABC 的面积.? . 313.在⊿ABC 中，BC= 5 ，AC=3，sinC=2sinA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求 AB 的值：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II) 求 sin ? 2 A ?? ???? 的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4?