含参不等式恒成立问题的求解策略:含参不等式恒成立专题

　　“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
　　一、判别式法
　　若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有
　　（1）f(x)>0对x∈R恒成立a>0，Δ0对x∈R恒成立，即有Δ=(a－1)2－4a213。
　　所以实数a的取值范围为(－
　　䥺SymboleB@ ,－1)∪(13,+
　　䥺SymboleB@ )。
　　若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
　　二、最值法
　　将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
　　（1）f(x)>a恒成立a0恒成立，求实数a的取值范围。
　　解：若对任意x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )，f(x)>0恒成立，
　　即对x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )，f(x)=x2+2x+ax>0恒成立。
　　考虑到不等式的分母x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )，只需x2+2x+a>0在x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )时恒成立即可。
　　而抛物线g(x)=x2+2x+a在x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )的最小值gmin(x)=g(1)=3+a>0，得a>－3。
　　注：本题还可将f(x)变形为f(x)=x+ax+2，讨论其单调性从而求出f(x)的最小值。
　　三、分离变量法
　　若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地，有：
　　（1）f(x)f(x)max
　　（2）f(x)>g(a)(a为参数）恒成立g(a)0在x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )时恒成立，只要a>－x2－2x在x∈［1,+
　　䥺SymboleB@ )上恒成立。而易求得二次函数h(x)=－x2－2x在［1,+
　　䥺SymboleB@ )上的最大值为－3，所以a>－3。
　　例3已知函数f(x)=ax－4x－x2,x∈(0,4］时f(x)0恒成立，求x的取值范围。
　　分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x－2)a+x2－4x+4>0在a∈［－1,1］上恒成立的问题。
　　解：令f(a)=(x－2)a+x2－4x+4，则原问题转化为f(a)>0恒成立（a∈［－1,1］）。
　　当x=2时，可得f(a)=0，不合题意。
　　当x≠2时，应有f(1)>0，f(－1)>0，解之得x3。
　　故x的取值范围为(－
　　䥺SymboleB@ ,1)∪(3,+
　　䥺SymboleB@ )。
　　注：一般地，一次函数f(x)=kx+b(k≠0)在［α,β］上恒有f(x)>0的充要条件为f(α)>0，f(β)>0。
　　除上面几种方法外，我们还可以利用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，因篇幅关系，本文不再说明。
　　由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，解决方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断地去领悟、体会和总结。
　　（作者单位：湖北省麻城三中）