周期函数 周期函数浅说

　　摘　要 函数的周期性是函数的重要性质之一，也是三角函数这章的难点。由于高中教材对这一性质的介绍因精而简，不利于学生的深刻理解与掌握，文章拟做一些解说。　　关键词 重复出现；周期函数；定义；周期求解
　　一、周期函数的引入
　　众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。
　　二、周期函数定义剖析
　　人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。
　　（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）没有意义，∴f（2π+0）≠f（0），∴T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。
　　（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。
　　（3）周期函数的定义域是“无限的”，不是说其定义域一定是一切实数，只是说其定义域不能受某一数“限制”。有些周期函数的定义域就是无数个区间的并，如y=tgx的定义域就不是一切实数；又有些周期函数的定义域为无数个零点，如y=的定义域为x=kπ（k∈Z）。
　　（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代换x 得f（x）= f（x-T），用用x-T代换x 得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理还可得f（x+3T）=f（x），以次类推，并依定义可知：若f（x）的周期为T，则-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函数的周期应为无数多个，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…
　　（5）在周期函数f（x）的无数个周期中，若有最小的正数，则称该周期为最小正周期。我们通常所指的周期为最小正周期。但有些周期函数就没有最小正周期，如f（x）=sin2x+cos2x，因为对于任意不为0的常数T，都有f（x+T）=f（x）=1，所以该函数没有最小正周期。
　　三、求周期函数的周期
　　常见的周期函数主要是三角函数或由三角函数和其它简单函数复合而成的函数。