函数的单调性与导数 [素材 用导数解函数的单调性问题]

用导数解函数的单调性问题

函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。利用导数判别函数单调性的法则为：在区间D 上，若f " (x ) >0，则f (x ) 在D 上是增函数；若f " (x )

例1. 证明函数f (x ) =2x 3-6x 2+7在［0，2］上是减函数。

解： f " (x ) =6x 2-12x =6x (x -2)，当x ∈[0，2]时，f " (x )

例2. 求函数f (x ) =x +

解： f " (x ) =1-

令f " (x ) =0得：a x a

x 22a x (a >0) 的单调区间。 =1

∴x 2=a ，x =±a

（1）当x >a 或x

a 2 x >a >0，2

所以，f " (x ) >0；

（2）当0

x 1 2x

所以，f " (x )

∴f (x ) 的单调增区间是-∞，-(a ，)(a ，+∞，单调减区间是-a ，0，)()(0，

a 。 ) 解含有参数的函数单调性时，需分类讨论参数，确定f " (x ) 的符号，从而确定函数的单调性。

1

x 例3. 求函数y =2a

解：令t =x -在x ∈(0，1]上的最大值（其中a ∈R ）。 1

t 2x ，则求f (t ) =2at -在（0，1］上的最大值

当a ≥0时，显然f (t ) 在（0，1］上为增函数，所以

f m a x (t ) =f (1) =2a -1

当a

得：t =-1

2t 3=0 a ，易知t ∈ 0，-⎝⎛1⎤⎥时， a ⎦

f " (t ) >0，f (t ) 为增函数

t ∈⎢-

⎣⎡1⎫，+∞⎪时，f " (t )

于是若-1≤a

a

则f (t ) 在（0，1］上为增函数

此时f max (t ) =f (1) =2a -1 ≥1）

若a

则f (t ) 在 0，-⎝⎛1a

在⎢-

⎣⎡1⎤，1⎥上为减函数

a ⎦

⎛

⎝1⎫2=-3a ⎪a ⎭ 所以f m ax (t ) =f -

由以上讨论知当a ≥-1时，

f m a x (t ) =f (1) =2a -1

a

从以上例题可以看出，利用导数解决函数的单调性问题，其求解过程思路流畅、简捷，便于掌握。