[浅析三角形的“四心”] 三角形的心
江苏张家港第三职业高级中学215625 摘要：本文就高中阶段解析几何和立体几何两章中，有关重心、垂心、外心、内心等“四心”问题展开讨论，提出自己的解题思路，并在教学实践中对有关的“四心”问题作出总结. 希望学生能通过联想，把三角形的四个“心”联系起来，把知识融会贯通起来，能够快速地解答问题，并能与实际问题联系起来，较好地解决实际问题，以此提高学生学习的兴趣和解决问题的能力.
关键词：重心；垂心；外心；内心
在初中几何中，三角形的四心就已经出现过，它们都是一些特殊线段的交点. 在高中阶段，有解析几何和立体几何两章几何内容，有关“四心”的问题是这两章内容应用层面的问题. 本文结合在教学实际中的总结来浅显地分析有关问题.
首先来整理一下三角形的“心”.
1. 重心：三条中线的交点，在物理中作为重力的受力点，分中线的长度比为2∶1.
2. 垂心：三条高线的交点，顶点与垂心的连线垂直于对应的边.
3. 外心：外接圆的圆心，三条边的中垂线交点，到三个顶点的距离相等.
4. 内心：内切圆的圆心，三条角平分线的交点，到三边的距离相等.
其实还有“旁心”，外角平分线的交点，因为在中学范围内出现得少，就不细究. 这四个“心”当中，内心、重心一定在三角形里面，另外两个的位置都取决于三角形的形状，锐角三角形在里面，直角三角形在边上，钝角三角形在外面.
在教学中，尤其在上高三复习课时，如果遇到出现一个“心”的问题，就会启发学生，能不能换作其他的“心”. 这样就能系统全面地去看待这样一类问题了. 在解析几何、立体几何中，笔者就碰到过这些问题，现整理如下.
[⇩]在解决问题前，先把求对称的问题分下类别，理清求解过程
1. 点关于点对称
如图1，求点A关于点O的对称点点B.
[A][O][B]
图1
[A][l][B]
图2
比较容易解决，利用O点是A，B两点的中点.
2. 点关于直线对称
如图2，求点A关于直线l的对称点点B.
设点A的坐标为（x1，y1），直线l为
Ax+By+C=0.
可以设点B的坐标为（x，y），常有两种思路来解决：
（1）转化为1的情况，过点A与l垂直的直线为Bx－Ay+C′=0，代入点A的坐标可以求出C′，再联立方程Ax+By+C=0，
Bx－Ay+C′=0， 求出AB和l的交点，即图1中的O点，后面的求解不重复叙述.
（2）直接解方程，
A
+B
+C=0，
=. 利用的是AB的中点在直线上，l和直线AB垂直. 这里对于特殊直线，平行、垂直坐标轴的直线单独处理，特殊直线的求解比较容易.
3. 直线关于点对称
如图3，求直线l关于点O的对称直线l′.
[l][P][O][l′]
图3
直线l为Ax+By+C=0，点O的坐标为（x0，y0）.
设点P（x，y）为l′上的任意一点，利用它关于O点的对称点在直线l上，所以有A・（2x－x）+B（2y－y）+C=0，整理一下就得到直线l′的方程.
4. 直线关于直线对称
如图4，直线m为A1x+B1y+C1=0，直线l为Ax+By+C=0，求直线m关于直线l对称的直线m′. 先求直线m和直线l的交点O，联立方程A1x+B1y+C1=0，
Ax+By+C=0，
可以求出O点的坐标，记求得的结果为（x0，y0）.
再利用过点O的直线m′与l所成的角与m与l所成的角相等来求解.
设m′的斜率为k（斜率不存在的情况单独考虑），l的斜率k0=－，
m的斜率k1=－，则m′为y－y0=k（x－x0）. 而斜率k满足：
=
，求出k舍去和k1相同的值后代入点斜式即可.
[⇩]解析几何中，如果知道三角形的三个顶点的坐标，如A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），怎么求三角形的“四心”
1. 求重心思路：如图5，在△ABC中，求重心O的坐标.
[A][O][G][F][B][C][E]
图5
教材参考中有结论：
O为
，
.
E为BC的中点，坐标为
，
.
又=2，设重心O为（x，y），则x－x1=2
-x，
y－y1=2
-y.求解出来，即得结论.
2. 求垂心思路：如图6，在△ABC中，求垂心O的坐标.
CG，AE分别为AB，BC的高线.
CG：y－y3=（x－x3），
AE：y－y1=（x－x1）.
（斜率不存在的情况单独考虑）
[A][F][C][E][O][G][B]
图6
带入具体数据，联立方程就可以解出垂心O的坐标.
3. 求外心思路：如图7，在△ABC中，求外心O的坐标.
[A][F][G][O][C][E][B]
图7
G为AB的中点，坐标为
，
，简记为（xG，yG）. E为BC的中点，坐标为
，，简记为（xE，yE）. OG，OE分别为AB，BC的中垂线，故OG：y－yG=（x－xG），OE：y－yE=（x－xE）（斜率不存在的情况单独考虑）. 将OG，OE的方程联立就可以求出外心O的坐标.
4. 求内心思路：如图8，在△ABC中，求内心O的坐标. 应该说求内心的计算过程是最为烦琐的一个，下面来进行细心的分析.
CG，AE分别为∠C，∠A的平分线.
[A][F][C][O][G][B][E]
图8
关键就是求出角平分线，先来求AE，因为AE的走向与AB，AC相比可知kAEkAB .
理论依据是各自直线的倾斜角大小关系和斜率之间的联系.
kAB=，kAC=，利用
=
，求出kAE .
方程会求出两个解按kAEkAB取. 则AE：y－y1=kAE（x－x1）.
同理求出CG的方程，有点区别的是kCG取舍的条件是kAC 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 有关直线的斜率还是从方程中直接得到.
[⇩]立体几何中，三棱锥顶点在底面三角形中的射影，这里少了一种重心的情况，下面主要分析垂心、外心、内心的情况
1. 垂心：如图9，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的垂心.
[P][A][C][O][D][B]
图9
条件是PA，PB，PC两两互相垂直.
解析因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以PA⊥面PBC，则PA⊥BC.
又O为点P在平面ABC上的射影，
则AO为PA在平面ABC上的射影.由三垂心定理可以知道AO⊥BC. 同理可以知道CO⊥AB.
故O为△ABC的垂心.
2. 外心：如图10，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的外心.
条件是：（1）PA=PB=PC.
或者是：（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等.
[P][A][C][O][B]
图10
解析因为O为点P在平面ABC上的射影，
所以PO⊥面ABC，△POA，△POB，△POC都为直角三角形. 若（1）PA=PB=PC或（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等，即∠PAO=∠PBO=∠PCO，加上PO=PO=PO，可以证出这三个直角三角形全等.
所以得出结论AO=BO=CO，O就为△ABC的外心. 这个命题的逆命题也成立.
3. 内心：如图11，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的内心.
条件是：（1）P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，即PD=PE=PF.
（2）面PAB，面PBC，面PAC和底面ABC所成的角相等.
解析因为O为点P在平面ABC上的射影，
所以PO⊥面ABC. P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，有PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB. 且PD=PE=PF，马上可以得到它们的射影OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF.
即O为△ABC的内心. 条件面PAB、面PBC、面PAC和底面ABC所成的角相等. 可以得到OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且∠PDO=∠PEO=∠PFO，可以得到三个直角三角形全等. 所以也可以得到OD=OE=OF，即O为△ABC的内心. 同样这个命题的逆命题也是成立的.
[⇩]解析几何中，虽然不是直接求的“四心”，但有很强的联系，即和中线、高线、中垂线、角平分线有关系
如图12，知道点A的坐标，还有l1和l2的直线方程，求解三角形，即求出三角形另外的两个顶点的坐标.
[A][l2][l1]
图12
这两条直线分别为中线、高线、中垂线、角平分线时，怎么求？先看高线的情况，如图13，先求AB，它过点A，且和l2垂直，用点斜式可以求出，同理可以求出AC的方程，将AB的方程和l1联立可以求出点B，同理求出点C.
再看中垂线的情况. 如图14，先求点A关于l2的对称点B，再求点A关于l1的对称点C，问题就解决了. 求对称的方法在第一个问题中作了详细分析，这里不重复.
[B][l1][C][l2][A]
图14
然后看角平分线的情况. 利用求对称的方法，如图15，先求点A关于l2的对称点D，再求点A关于l1的对称点E，利用两点式就求出直线DE的方程，分析可知点B和点C也在直线DE上，所以将DE和l1联立就可以求出点B，将DE和l2联立就可以求出点C.
[B][l1][C][l2][A][E][D][・][・]
图15
最后来解决中线的情况. 直接求点不太方便，利用方程组来解决比较好办. 如图16，CE为AB边上的中线，BD为AC边上的中线. 设点B的坐标为（x，y），则E点为AB的中点，E=
，，利用B点在l1上，E点在l2上，得到方程组. 即B点满足l1的方程，E点满足l2的方程，联立求出的就是B点的坐标，同理可以求出C点.
[B][l1][C][l2][A][D][E]
图16
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