双曲线的标准方程 [椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用]
摘要：椭圆、双曲线的离心率是解析几何中非常重要的知识点之一，也是高考常考的热点. 对于某一类求椭圆、双曲线离心率问题，利用另一组离心率公式求解，会带来意想不到的“神奇”效果！本文以4个定理和4个相应例题分别进行阐述.
关键词：定理；椭圆；双曲线；离心率
求椭圆、双曲线离心率一般涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，可先找出含a，b，c的等式关系，再求离心率. 在教学过程中，笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果！现用定理的形式叙述并证明.
离心率公式
定理1（如图1）设椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，在△PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是椭圆的离心率，则有=e.
图1
证明在△PF1F2中，==，则=.
所以=?圯==e.
定理2（如图2）设双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点，在△PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是双曲线的离心率，则有=e.
图2
证明在△PF1F2中，==，则=.
=，
所以=?圯==e.
定理3（如图3）设A，B是椭圆+=1（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是椭圆的离心率，则tanαtanβ=1－e2.
证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）＝kPB=，
所以tanβ=－，
所以tanα•tanβ=－•= -.（1）
又+=1，所以y=b21-=（a2-x），代入（1），
所以tanα•tanβ=-•（a2-x）===1－e2.
定理4（如图4）设A，B是双曲线－=1（a>b>0）的实轴两端点，P是双曲线上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是双曲线的离心率，则tanαtanβ=1－e2.
证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）=kPB=，
所以tanβ=－，所以tanα•tanβ= －•=-.?摇 （2）
又-=1，y=b2-1=（x-a2），代入（2），
所以tanα•tanβ=-•（x-a2）= -=-=1－e2.
注：若椭圆、双曲线的焦点在y轴，或中心不在原点，同样得到相应的结论.
公式应用
例1如图5，正六边形ABCDEF的顶点A，D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B，C，E，F均在椭圆上，求椭圆的离心率.
图5
分析本题关键是从正六边形ABCDEF中找出一个内角都已知的椭圆的焦点三角形，如△EAD，这样可利用定
理1直接求解.
解析如图5，连结AE，易知∠AED=90°，∠DAE=30°，∠ADE=60°.
由定理1得e====－1.
点评：本题也可设出正六边形的边长，利用椭圆的定义进行求解.
例2（２００７安徽）如图6，F1和F2分别是双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. ?摇 D. 1+
图6
分析解本题的关键是寻找一个内角都已知的双曲线的焦点三角形，如△AF1F2，这样可利用定理2直接求解.
解析如图6，连结AF1，由于△ABF2是正三角形，利用对称性得∠AF2F1=30°. 又因为F1F2是圆O的直径，所以∠F1AF2=90°，∠AF1F2=60°. 由定理2得
e====1+，故选D.
点评本题也可求出A点坐标－c，c，再将此坐标代入双曲线方程，且利用b2=c2－a2进行求解，比较麻烦.
例3（东北区三省四市２００８年第一次联合考试）椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为（）
解析由椭圆的对称性可知△A1BA2是等腰三角形. 又∠A1BA2=120°，所以∠BA1A2=∠BA2A1=30°. 由定理3得
tan∠BA1A2•tan∠BA2A1=1－e2，
即 tan30°•tan30°=1－e2?圯•=1－e2，e2=，所以e=，故选B.
点评本题也可由tan30°=，再利用e=求解.
例4设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为顶点且过点C的双曲线的离心率为 .
解析因为△ABC是等腰三角形，且∠ABC=120°，所以∠BAC=30°. 由定理4得
tan∠BAC•tan∠ABC=1－e2?圯tan30°•tan120°=1－e2?圯•（－）=1－e2，
?圯e2=2，所以e=.
点评本题也可设AB=BC=2a，求出C点坐标（2a，a），而后代入双曲线方程-=1（a>0，b>0），再利用e=求解.
由于椭圆、双曲线有着统一的内在规律，所以它们之间还存在着很多类似的对偶性质. 只要我们在教学中细心观察和认真总结，有些有用、有趣的性质一定会被发现. 以上是我教学中的一点体验，仅供参考.
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