[探究与变式] 探究式教学
今日教育，创新是核心，实践为重点，数学教学，应该是一种再发现，再创造的过程教学．在美国，如果非要用某个词来描述近30年来科学教育工作者所努力追求的目标，这个词一定是“探究”[1]．在中国，如果非要某个词来表达恢复高考以来广大中学教学教师所努力追求的法定，亦或说，非要用某个词来概括中国数学双基教学的特征，这个词一定是“变式”[2]．探究与变式能糅合吗？本文从“双曲线与直线的位置关系”的课堂教学谈起．
1 教学设计
1．1 展示问题，学生尝试
问题1：k为何值时，双曲线x29-y24=1与直线y=kx-1相切？（设计意图：让学生在尝试中陷误！）
变式：k为何值时，双曲线x29-y24=1与直线y=kx-1有且只有一个公共点？（设计意图：让学生在误中悟！）
1．2 画图探究，归纳结论
问题2：在同一坐标平面内，双曲线与直线的位置关系有哪些情况？请画草图列举．（设计意图：让学生先自主探究，后小组交流，再全班展示，穷尽位置关系的各种可能．）
变式：从代数（方程）的角度，小结双曲线与直线位置关系的判定方法？（设计意图：类比椭圆，形数结合，注意双曲线的开放性，培养学生的语言表达能力和数学概括能力．）
1．3 变式探究，巩固提高
问题3：过点A（0，2）可以作条直线与双曲线x29-y24=1有且只有一个公共点？
变式1：过点A（3，2）可以作条直线与双曲线x29-y24=1有且只有一个公共点？
变式2：找一点A，使过点A可以作3条直线与双曲线x29-y24=1有且只有一个公共点？
变式3：能否找到一点A，使过点A只可作1条直线与双曲线x29-y24=1有且只有一个公共点？
变式4：过一点A，作与双曲线x29-y24=1有且只有一个公共点的直线，这样的直线条数有哪几种情况？（设计意图，让学生在变式中画图探究，并领悟结论的一般性．）
问题4：过双曲线x2-y22=1的右焦点F作直线与双曲线交于A、B两点，（1） 当弦长�|AB|�=4时，这样的直线可以作出条；（2） 当弦长�|AB|�=3时，这样的直线可以作出条？
（3） 你还能得出什么结论？（设计意图：让学生会自编变式题，自主探究结论，再次领悟结论的一般性．）
问题5：已知双曲线x2-y23=1，求（1） 以定点A（2，1）为中点的弦所在的直线方程．（2） 以定点B（1，1）为中点的弦存在吗？为什么？（设计意图：准备预案，将探究从课堂延伸到课外．）
2 教后反思
2．1 摸准学情――教学成功的关键
随着高中招生规模不断地扩大，很多数学基础薄弱的学生也进入了高中，到高二学习数学时，已是力不从心．笔者通过调查摸底，了解到了很多学生“恐惧”数学，在数学老师面前感到自卑，在数学课堂上感到紧张，学数学往往是“一听就懂，一做就错”．所以他们给老师建议：“课堂内容不要太多，要留思考问题的时间．”“不要追求一题多解，巧思妙解，而要多题一解、一题多变．”……为此，笔者通过不断实验和反思，认定以下三条在课堂教学中切实可行：① 强动机，浓兴趣，把问题作为教学的出发点，让课堂充满欢乐．② 低起点，密台阶，给“潜能生”说与做的机会，让学生不断尝试成功．③ 学变式，多探究，敢质疑，教给学生科学的学习方法，并辅以个别矫正和心理疏导．这就是本课教学设计的“大背景”．
2．2 找准知识生长点――教学设计的关键
找准知识的生长点，让数学学习在学生思维的“最近发展区”展开，是设计好课堂教学的关键．本课的学习是建立在“圆与直线的位置关系、椭圆与直线的位置关系”基础之上的，学生已经掌握了其位置关系的判定方法：联立方程组，消去一元，得另一元的二次方程，然后根据其判别式的符号判定相交、相切、相离．但双曲线因其开放性，有不同于圆与椭圆封闭性的特殊之处，因此就有问题1的设计和问题3的变式．而位置关系判定方法的归纳，建立在图形的基础上很直观，本课学生概括时，就遗留了“联立方程组，消去一元，得矛盾等式1=0”这一情况，对照画图探究结果中，“相离”的极端情形――“双曲线与它的两条渐近线”，就能明白错误，因此就有问题2的设计．在圆与直线、椭圆与直线的位置关系中，已经研究过“弦长计算”与“中点轨迹问题”，再迁移到双曲线与直线的位置关系中是很自然的，为此就设计了问题4和问题5．
2．3 让课堂动态生成――变式与探究糅合的
关键传统的课堂教学，教师总是按预设进行，不愿学生“节外生枝”；总是启发学生回答问题，而回避甚至打断学生质疑问题．本课的教学，学生就提出了两个预设之外的问题．
其一是，在问题2中，画图探究双曲线与直线的位置关系，有直线与双曲线交于两点的两种情形，这时有学生质疑，直线与双曲线何时交于双曲线的一支？何时交于两支？笔者没有急于回答，而请全班学生思考，片刻后便有学生解决了这一问题：比较直线斜率的绝对值|k|与双曲线渐近线方程y=±bax中的ba的大小，① 当|k|＜ba时，直线交双曲线于两支；② 当|k|＞ba时，直线交双曲线于一支．
其二是，在问题5中，学生比较以A（2，1）为中点存在“中点弦”，而以B（1，1）为中点，不存在“中点弦”后，好奇地问：哪些平面区域内的点存在“中点弦”？哪些平面区域内的点不存在？尽管这时离下课不到5分钟，但笔者没有回避，还是静下心来与学生商讨解决问题的办法．学生们分组，有的通过取特殊点验证，有的通过画图探究，得出了猜想：如图1，双曲线及其渐近线将平面区域分成六部，其中在平面区域①④⑤⑥内取点，存在“中点弦”；而在平面区域②③内取点．不存在“中点弦”，双曲线上的点不符合要求，渐近线上的点（原点除外）也不存在“中点弦”．能不能给出证明，下课铃声响起，只能在课外探究．
图1课后，笔者指导部分学生艰难地得出了证明:设点C（x�0,y�0)为坐标平面内任意点，过点C作直线与双曲线
这个计算过程，真是一个“痛苦”的过程！其繁难程度，超出了一般学生的心理承受能力，我和学生都几次想放弃，但凭着对数学的痴迷与执著，抱着不怕失败的决心，还是咬牙坚持了下来．古人说得好，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村．”证明终于重现了光明：Δ中的因式3x2�0-y2�0-3与双曲线方程3x2-y2-3=0有关，因式3x2�0-y2�0与双曲线渐近线3x2-y2-3=0有关，联想不等式表示平面区域的知识有：
（1） 当在平面区域①、④内取点时，3x2�0-y2�0-3＞0，3x2�0-y2�0＞0，此时Δ＞0，以点C为中点，不存在“中点弦”．
（2） 当在平面区域②、③内取点时，3x2�0-y2�0-3＜0，3x2�0-y2�0＞0，此时Δ＜0，以点C为中点，存在“中点弦”．
（3） 当在平面区域⑤、⑥内取点时，3x2�0-y2�0-3＜0，3x2�0-y2�0＜0，此时Δ＞0，以点C为中点，存在“中点弦”．
（4） 当在双曲线上取点时，3x2�0-y2�0-3=0，此时Δ=0，以点C为中点不存在“中点弦”．
（5） 当在渐近线上取点时，3x2�0-y2�0=0，此时Δ=0，以点C为中点不存在“中点弦”．
以上都是在y�0≠0时的结论，即不包括x轴上的点．因为当y�0=0时，k��MN�无意义，Δ不存在．此时在平面区域①、④中的x轴上取点C时，存在以点C为中点的“中点弦”，即垂直于x轴的弦；在平面区域②，③中的x轴上取点C时，不存在以C为中点的“中点弦”．而当点C与双曲线两顶点重合时，也不存在点C为中点的“中点弦”，但当点C与坐标原点重合时，却存在以点C为中点的“中点弦”，即垂直于y轴的弦．
综上所述，在平面区域①④⑤⑥和坐标原点取点时，存在以该点为中点的“中点弦”．
探究与变式的糅合，让课堂充满生机课外充满活力，让数学教学自然流畅，让学生越来越喜欢数学学习．
参考文献
1 罗腾根．高一（上）数学探究性活动的设计．数学教学通讯，2003（9）
2 罗腾根．变式．数学课堂教学之法宝．数学教学通讯，2006（10）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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