数学趣题 [一道数学趣题的解法浅探]

　　在数学兴趣小组的活动中，顾老师给我们出了这样一道题：　　题目很简单，过程稍复杂，同学们，看招：哥哥叫弟弟计算两个整数的平方和，弟弟给出答案2012. 哥哥说，错了.你能证明弟弟算错了吗？
　　略加思索，我就在纸上算了起来.
　　解：假设存在这样的两个数，它们的平方和等于2012.
　　因为02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81．
　　所以，一个数的平方，个位上的数只能是0，1，4，9，6，5．
　　又因为2012的个位是2，所以这两个数平方后个位上应该都是1或都是6．所以这两个数只能有下面6种可能：
　　{1}个位上都是1的两个数；{2}个位上都是9的两个数；{3}个位上是1和9的两个数；{4}个位上都是4的两个数；{5}个位上都是6的两个数；{6}个位上是4和6的两个数．
　　先看情况{6}：假设这两个数为10x+4和10y+6，列方程得：
　　（10x+4）2+（10y+6）2=2012（x、y均为整数）．
　　整理，得：5（x2+y2）+2（2x+3y）=98．
　　分三种情况讨论：
　　当x和y为一奇一偶两个数时，5（x2+y2）为奇数，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98的左边为一奇数，右边为一偶数，所以无整数解．
　　当x和y为两个奇数时，设x=2m+1，y=2n+1，代入方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98，整理得：10（m2+m+n2+n）+2（2m+3n）=39．此方程左边为一偶数，右边为一奇数，所以m、n无整数解．
　　当x和y为两个偶数时，同理可得，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98也无整数解．
　　所以，方程（10x+4）2+（10y+6）2=2012无整数解．
　　同理可得，方程（10x+1）2+（10y+1）2=2012，（10x+9）2+（10y+9）2=2012，
　　（10x+1）2+（10y+9）2=2012，（10x+4）2+（10y+4）2=2012，（10x+6）2+（10y+6）2=2012也无整数解．
　　综上所述，不存在这样的两个整数，它们的平方和等于2012，所以弟弟肯定算错了．
　　我作出了上面的解答. 顾老师说：“按照通常的数学思维和逻辑，这样的解法无可厚非，但总感觉复杂繁琐，我们先来看看下面一题：有没有这样的两个整数，它们的平方和等于2013，2014，2015……？”
　　这道题不就是要问至少还要过几年，年份数才可以分解为两个整数的平方和嘛，解答就更难了，所要证明无整数解的方程也太多了，这许多方程能不能单凭“奇数偶数”说明有无整数解，我也不敢贸然肯定．这时，顾老师提醒道：其实，我们可以换一种思路来解答这些问题：
　　因为452=2025，442=1936，322+322=2048，322+312=1985．我们可以借助计算器将下列等式补充完整，横线上都填整数，但等号后面必须填大于或等于2012的最小整数：
　　452+02=2025．442+ ___2=___．432+___2=___．422+___2= ___．
　　412+___2=___．402+___2=___．392+___2=___．382+___2=___．
　　372+ 2=___．362+___2= ___．352+___2=___．342+___2=___．
　　332+___2=___．322+322=2048．
　　计算结果为：
　　452+02=2025．442+92=2017．432+132=2018．422+162=2020．
　　412+192=2042．402+212=2041．392+232=2050．382+242=2020．
　　372+262=2045．362+272=2025．352+292=2066．342+302=2056．
　　332+312=2050．322+322=2048．
　　显而易见，等式右边没有2012，2013，2014，2015，2016，最小的数是2017，且2017=442+92，也就是说，至少还要过5年，年份数2017才可以分解为两个整数（44和9）的平方和．
　　同样的解法，我们也可以很轻松地找到2000年至今，可以分解为两个整数的平方和的年份数：
　　2000=442+82=402+202．
　　2005=412+182=392+222．
　　2009=352+282．
　　换一种思路，往往可以找到通向成功的捷径，解数学题又何尝不是如此！■
　　（指导老师：顾　斌）