分离常数法_参数分离法的适用场合

　　已知含参不等式在某区间上恒成立，求参数的范围，这是高中数学中的典型问题．解决这类问题有两种常见策略：一是使用参数分离法，将参数从方程或不等式中提取出来，把问题转化为不含参数的函数的最值或值域问题；二是使用其他方法，如直接求出含参函数的最值或值域，或用数形结合等思想方法来解决．
　　虽然参数分离法的使用频率比较高，但它并不是万能的．今天，我们就通过两道例题，讲讲参数分离法的适用场合．
　　例1　已知函数f（x）＝lnx-ax，若不等式f（x）＜x恒成立，求实数a的取值范围．
　　分析： f（x）0． f（x）-1．
　　设g（x）=-1 （ｘ＞0），则g′（x）=. 令g′（x）=0，解得x=e. 当x∈（0，ｅ）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，ｅ）上单调递增；当ｘ∈（ｅ，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（ｅ，+∞）上单调递减． 即g（x）max=g（e）=-1. 要使a>-1恒成立，则a>g（x）max，所以a>-1.
　　参数分离法简捷明了，直击要害，但它也有“失灵”的时候．现在我们将例1改编成例2，再进一步分析.
　　例2　是否存在实数a，使不等式ax≥ln（ｘ+1）恒成立？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由．
　　分析：表面上看，例2与例1相似，参数a也能被单独分离出来，但不等式ax≥ln（ｘ+1）的定义域为x>-1，如果我们用参数分离法解题，就要分-10三种情况讨论．
　　当-10，所以g（x）在（-1，0）上单调递增，g（x）＜g（0）＝0．所以f′（x）＝＜0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减． 因为ａ≤f（x），所以ａ≤f（0），而f（0）不存在，至此，由于高中数学知识的限制，我们难以求出实数ａ的取值范围．
　　当ｘ＞0时，我们也同样难以求出实数ａ的取值范围．
　　由此可见，参数分离法不适用于例２． 如果我们采用数形结合法解题，就能豁然开朗了．
　　设h（x）＝ax，g（x）=ln（x+1）.
　　如图1所示，当a=1时，h（x）=x的图象恰好是g（x）=ln（x+1）的图象在原点处的切线. 观察可得：当a>1时，ax≥ln（x+1）在（-1，0）上不恒成立；当a-1. 令f（x）=ax-ln（ｘ+1），则f′（x）＝a-.
　　若a≤0，则当x＞0时，ax0，所以ax≥ln（x+1）不恒成立.
　　若0　　若a>1，则当x∈-1，0时， f′（x）＞0，所以f（x）在-1，0上单调递增. 又f（0）=0，所以在-1，0上f（x）0时， f′（x）>0.所以x=0是f（x）唯一的极小值即最小值. 而f（0）=0，所以对一切x>-1， f（x）=ax-ln（x+1）≥0.
　　综上所述，当且仅当a=1时，ax≥ln（x+1）恒成立.
　　由以上例题可知，对于已知含参不等式恒成立求参数范围的问题，我们可以考虑使用参数分离法． 要使用参数分离法，首先要确保参数可以被单独分离出来，其次要确保能求出目标函数的最值．如果目标函数无最值且在区间端点处无意义，限于高中数学知识无法解决问题，就要考虑用直接法、数形结合法等其他方法解决问题．
　　【练一练】
　　已知函数ｆ（ｘ）＝. 若对任意的ｘ＞0，不等式ｆ（ｘ）＞1+ａｘ恒成立，求实数ａ的最大值．
　　【参考答案】
　　由于参数ａ能被单独分离出来，故可考虑使用参数分离法． 整理不等式ｆ（ｘ）＞1+ａｘ得ａ＜ （x>0）． 设g（ｘ）=，则g′（x）=． 令g′（x）=0，因为用高中数学知识难以求出g（x）的极值点，所以我们转而使用直接法．
　　f（x）>1+ax （x>0）恒成立即ln（x+1）-x-ax2>0恒成立. 设h（x）=ln（x+1）-ｘ-ax2 （ｘ＞0），则h（0）＝0，h′（x）＝-1-2ａｘ＝.
　　若ａ≥0，则h′（x）≤0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，由此可得h（x）＜h（0）＝0，这与ｌｎ（ｘ+1）-ｘ-ａｘ2＞0恒成立不符．
　　若ａ＜0，当2ａ+1＞0即-＜ａ＜0时，因为-2ax>0，＜0，所以当x∈0，-时，h′（x）=0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得h（x）＞h（0）＝0，满足题意．
　　所以当ａ≤-时，不等式f（x）>1+ax恒成立，即实数ａ的最大值为-.