柯西收敛准则判断级数敛散性 [交错级数敛散性的一个新判别准则]

第29卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 29 No.2 2009年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2009

文章编号：1007-9831（2009）02-0008-03

交错级数敛散性的一个新判别准则

钱伟懿

（渤海大学 数学系，辽宁 锦州 121000）

摘要：交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法目前并不多．关于交错级数的敛散性，给出一个新的判别准则，利用这个准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛．选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验． 关键词：交错级数；判别准则；收敛；发散 中图分类号：O173.1 文献标识码：A

1 引言及预备知识

考虑如下的交错级数

∑(−1)n−1un=u1−u2+L+(−1)n−1un+L

n=1

∞

（1）

其中：un≥0 (n=1, 2, L)．

交错级数是数学分析和高等数学中的重要内容之一，在许多教材中，关于交错级数（1）收敛性判别，只介绍了莱布尼兹定理，这个定理只能判别交错级数（1）的收敛，不能判别是绝对收敛还是条件收敛，而

[1-3]

本文针对级数（1），且也没给出判别交错级数（1）的发散条件．对于这个问题许多学者进行了深入的研究，

给出一个新的判别方法，该方法不仅能够判别级数（1）的敛散性，而且也能够判别在收敛时是绝对收敛还是条件收敛．

引理1

[4]17

如果级数（1）满足：un>un+1 (n=1, 2, L)，limun=0，则级数（1）收敛且其和s≤u1．

n→∞

引理2

[4]13

调和级数∑

1

，当p>1时，收敛；当p≤1时，收敛． p

n=1n

∞

n

n

∞

⎛un⎞⎛u⎞[5]

⎟，若limRn=lim⎜n⎟=ρ，则当ρ>e时， 引理3 对于正项级数∑un (un>0)，令Rn=⎜⎜u⎟⎟n→∞n→∞⎜un=1⎝n+1⎠⎝n+1⎠正项级数∑un (un>0)收敛；当ρ

n=1

n=1

∞

∞

2 主要结果及应用

⎛u⎞⎛un⎞

⎟，若limRn=lim⎜n⎟=ρ．则 定理 对于交错级数（1），令Rn=⎜⎜u⎟⎟n→∞n→∞⎜u⎝n+1⎠⎝n+1⎠

（1）当ρ>1时级数（1）收敛，且1e 时绝对收敛； （2）当ρ

基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目（2004C058）

作者简介：钱伟懿（1963-），男，辽宁锦州人，教授，博士，从事最优化理论与应用及数学分析研究．E-mail：qianweiyi@eyou.com

n

n

第2期 钱伟懿：交错级数敛散性的一个新判别准则 9

⎛un⎞n⎛un⎞

⎜⎟⎟>1， 证明 （1）当ρ>1时，由极限保号性，存在自然数N′，当n>N′时，有⎜即⎜u⎟⎜u⎟>=1，

⎝n+1⎠⎝n+1⎠

所以un>un+1，从而当n>N′时，{un}单调下降．

⎛un⎞ρ−1

⎟=ρ，对任给正数εN时，有ρ−ε

111

⎞⎛⎛un⎞uρ+1⎞nn

⎟(ρ−ε)nun+1=⎛⎜⎟

n

1

n

n

⎛ρ+1⎞⎛ρ+1⎞⎛ρ+1⎞⎛ρ+1⎞⎛ρ+1⎞⎛ρ+1⎞

然数m，有uN>⎜L⎜uN+m，⎟uN+1>⎜⎟⎜⎟uN+2 >L>⎜⎟⎜⎟⎟

⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠

uN111ρ+1

++L+=+∞>1，lim从而0≤uN+m

⎛ρ+1⎞NN+1N+m−1⎜⎟⎝2⎠uN

=0，由迫敛性定理limuN+m=0，从而limun=0，由引理1知级数（1）所以lim111m→∞n→∞m→∞+L+

⎛ρ+1⎞NN+1N+m−1⎜⎟⎝2⎠

收敛．

由引理3知，当1e时，级数（1）绝对收敛

1N1N1N+11N1N+11N+m−1

⎛u⎞⎛un⎞

⎟N时，有⎜⎜u⎟⎜u⎟⎝n+1⎠⎝n+1⎠

以un

n→∞

n

给出利用定理判别交错级数敛散性的实例． 例1 判别级数∑(−1)n−1

n=1∞

(2n−1)!!1

+的敛散性．

(2n)!!n

n

2

n

2

1(2n+1)−

12

(2n−1)!!n+2n+1⎞11⎞2⎛⎛2n+2⎞⎛⎟解 令un=，由于ρ==++，则Rn=⎜limRlim1⎟⎜⎜⎟n2⎟⎜n→∞2n1++(2n)!!n2n1n→∞n2n+⎝⎠⎝⎝⎠⎠1⎛⎞

⎜1+2⎟

+2nn⎝⎠

(n2+2n)

1

12n

=e⋅1=e，由定理知级数∑(−1)n−1

n=1

1212

∞

(2n−1)!!1

+条件收敛．

(2n)!!n

例2 判别级数∑(−1)n−1

n=1

∞

n!

的敛散性．

4×5×6×L×(3+n)

n

n

n+1

3−13

解 令un=3⎞⎛

lim⎜1+⎟n→∞⎝n+1⎠

n!3⎞3⎞⎛⎛⎛n+4⎞

，则Rn=⎜⎟⎟=⎜1+⎟=⎜1+

n+1⎠n+1⎠4×5×6×L×(3+n)⎝⎝⎝n+1⎠

=e>e，由定理知级数∑(−1)n−1

3

，由于ρ=limRn=

n→∞

n+1

3−13

∞

n=1

n!

绝对收敛．

4×5×6×L×(3+n)

例3 判别级数∑(−1)

n=1

∞

n−1

nn

的敛散性． n!

n

−n

n

⎡⎛1⎞⎤

，由于ρ=limRn=lim⎢⎜1+⎟⎥

n→∞⎝n⎠⎥n→∞⎢⎣⎦

−n

n

⎡⎛⎡nn⎤nn1⎞⎤

解 令un=，则Rn=⎢=⎢⎜1+⎟⎥nn!n⎠⎥(+1)n⎢⎦⎣⎣⎝⎦

n∞

n−1n理可知，级数∑(−1)发散．

n!n=1

=0

（下转第13页）

第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 13 [4] 孟宪吉，王瑾．拉格朗日中值定理的新证明[J]．沈阳师范大学学报：自然科学版，2003（4）：252-254． [5] 谭杰锋．行列式函数构造与应用的一点注记[J]．合肥学院学报，2007（2）：17-19．

[6] 同济大学应用数学系．高等数学（上册）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2003：126-132．

The construction of additive functions to testify differential mean value theorem

SONG Zhen-yun，CHEN Shao-yuan，TU Qiong-xia

（School of Information Technology，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China）

Abstract：According to the one-to-one correspondence between the complex numberx+yi and the point

(x, y)(x, y∈R)on the plane，can take them as identical．Constructed a series of additive functions to meet Rolle theorem conditions with the multiply method of complex numbers while testifying Lagrange mean value theorem，also put forward a method of constructing additive functions to testify Cauchy mean value theorem． Key words：differential mean value theorem；functions of complex variables；additive functions

（上接第9页） 参考文献：

[1] 彭晓珍，严钦容．关于交错级数的一个新的审敛准则[J]．大学数学，2004，20（3）：120-123． [2] 杨万必．关于交错级数的审敛准则的改进和推广[J]．大学数学，2006，22（2）：138-141. [3] 苏翃，邱利琼，王大坤，等．一类交错级数的收敛定理[J]．大学数学，2006，22（5）：143-146． [4] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006：13-17. [5] 周玉霞．关于正项级数敛散性判定的一类方法[J]．大学数学，2006，22（1）：109-110．

An new criterion for convergence or divergence of alternating series

QIAN Wei-yi

（Department of Mathematics，Bohai University，Jinzhou 121000，China）

Abstract：Alternating series is one of important contents in mathematical analysis，now，there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established a new criterion to decide convergence or divergence of alternating series. Based on the convergence criterion，can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series．Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.

Key words：alternating series；criterion；convergence；divergence