三角函数各类型试题_高一三角函数试题

三角函数各类型试题

课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，

25

y ) 是角θ终边上一点，且sin θ，则y ＝________.

5

5y y 2－8【解析】 r ＝x ＋y ＝16＋y ，∵sin θ＝－，∴sin θ＝＝－，解

5r 516＋y 得y ＝－8.

课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴

4334

重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－ B ．－ C. D.

5555

B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a, 2a )(a ≠0) ，则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a ) 2＝5a 2，

2a 123

∴cos 2θ＝，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－.

5a 555

22

cos θ－sin θ1－tan 2θ2a 3

解法2：tan θ＝2，cos2θ＝a 5cos θ＋sin θ1＋tan θ

3π

π，，tan α＝2，则cos α＝________. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎛2⎝

3π51

π，，－ ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝，又α∈⎛2⎝55

∴cos α.

5

π

x ＋－1. 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x ) ＝4cos x sin ⎛⎝6(1)求f (x ) 的最小正周期；

ππ

上的最大值和最小值． (2)求f (x ) 在区间⎡⎣64π

x ＋⎫－1 【解答】 (1)因为f (x ) ＝4cos x sin ⎛⎝6⎭

π31

2x ＋. ＝4cos x ⎛sin x ＋cos x ⎫－13sin2x ＋2cos 2x －13sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎛6⎝2⎝2⎭

所以f (x ) 的最小正周期为π.

ππππ2ππππ

(2)因为－x ≤，所以－2x 于是，当2x ＋＝，即x f (x ) 取得最大值

64663626πππ

2；当2x ＋，即x f (x ) 取得最小值－1.

666

sin2α

课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则( )

cos α

A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

sin2α2sin αcos α2sin α

D 【解析】 因为＝＝2tan α＝6，故选D.

cos αcos αcos α

课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) ＋cos(ωx＋

π

ω＞0，|φ|＜的最小正周期为π，且f (－x ) ＝f (x ) ，则( ) φ) ⎛2⎝

ππ3ππ

0，单调递减B ．f (x ) 在⎛单调递减C ．f (x ) 在⎛0，单调递增 A ．f (x ) 在⎛⎝2⎝44⎝2π3πD ．f (x ) 在⎛⎝4，4单调递增

π2π

ωx＋φ＋⎫，因为f (x ) 的最小正周期T ＝＝π， A 【解析】 原式可化简为f (x ) ＝2sin ⎛4⎭⎝ω

π

2x ＋φ＋，又因为f (－x ) ＝f (x ) ，所以函数f (x ) 为偶函数， 所以ω＝2. 所以f (x ) ＝2sin ⎛4⎝ππππ

2x ＋φ＝2cos2x ，所以φ＋＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π，k ∈所以f (x ) 2sin ⎛4⎝424

πππ⎛0，π2x ＋2cos2x ，Z ，又因为|φ|

上单调递减．

π

ω＞0，|φ|＜，y ＝f (x ) 的部课标文理数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f (x ) ＝A tan(ωx＋φ) ⎛2⎝

π⎫

分图象如图1－7，则f ⎛⎝24⎭＝(

)

3

D ．23 3

3πππππππ＝，ω＝2. 又由于2×＋φ＝k π＋(k ∈Z ) ，φ＝k π＋B 【解析】 由图象知2×⎛⎝882ω824

πππ

2x ＋. 又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x ) ＝(k ∈Z ) ，又|φ|

ππππ

2x ＋⎫. 所以f ⎛＝tan ⎛2×3，故选B. tan ⎛4⎭⎝⎝24⎝244π

大纲文理数7.C4[2011·全国卷] 设函数f (x ) ＝cos ωx(ω>0)，将y ＝f (x ) 的图像向右平移个单

3

位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )

1

A. B ．3 C ．6 D ．9 3

ππ2π

C 【解析】 将y ＝f (x ) 的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合，则＝，k

33ω

∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.

13

课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝.

3

π

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x ) ＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0

6

且最大值为a 3，求函数f (x ) 的解析式．

3

13a 1(1－3)1311－－

【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝＝a 1所以a n ＝×3n 1＝3n 2.

33331－3

－

(2)由(1)可知a n ＝3n 2，所以a 3＝3.

ππ

2×＋φ⎫因为函数f (x ) 的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝f (x ) 取得最大值，所以sin ⎛⎝6⎭6

ππ

2x ＋. ＝1. 又0

课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x ) 3sin x －cos x ，x ∈R . 若f (x ) ≥1，则x 的取值

⎧⎫⎧⎫ππ

2k π＋≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ⎬B. ⎨x ⎪k π＋≤x ≤k π＋π，k ∈Z ⎬ 范围为( )A. ⎨x ⎪33⎩⎪⎭⎩⎪⎭

⎧⎫⎧⎫ππ5π5π

2k π＋≤x ≤2k πk ∈Z ⎬D. ⎨x ⎪k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z ⎬ C. ⎨x ⎪6666⎩⎪⎭⎩⎪⎭

πππ1

A 【解析】 因为f (x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin x －，由f (x ) ≥1，得2sin x －1，即sin x －≥6662

A ．23 B. 3 C.

ππ5ππ

所以＋2k π≤x －≤2k π，k ∈Z ，解得＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .

6663

课标17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .

π

B ＋的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎛ ⎝4【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为00.

π

从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝4

3π

(2)由(1)知，B ＝A ，于是

4ππB ＋3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎛A ＋. 3sin A －cos ⎛⎝4⎝6π3πππ11ππππ

A 取最大值2. 因为0

ππ5πB ＋⎫的最大值为2，此时A ＝，B ＝. 3sin A －cos ⎛⎝4⎭312

ππ

2x ⎫＋cos ⎛2x ＋，则( ) 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x ) ＝sin ⎛4⎭4⎝⎝

ππ

0，⎫单调递增，其图像关于直线x ＝ A ．y ＝f (x ) 在⎛⎝2⎭4ππ

0，⎫单调递增，其图像关于直线x ＝ B ．y ＝f (x ) 在⎛⎝2⎭2ππ

0，⎫单调递减，其图像关于直线x ＝ C ．y ＝f (x ) 在⎛⎝2⎭4

ππ

0，⎫单调递减，其图像关于直线x ＝ D ．y ＝f (x ) 在⎛⎝2⎭2

ππππ

2x ＋＋⎫2sin ⎛2x ＋＝2cos2x ，所以y ＝f (x ) 在⎛0，内单D 【解析】 f (x ) 2sin ⎛44⎭2⎝⎝⎝2ππ

调递减，又f ⎛2cosπ2，是最小值．所以函数y ＝f (x ) 的图像关于直线x ＝对称． ⎝22

π

0，上单调递增，课标文理数6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x ) ＝sin ωx(ω>0)在区间⎡在区间⎣3⎡ππ⎤上单调递减，则ω＝2 B. 3 C ．2 D ．3 ⎣32⎦32

ππ

B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωxf (x ) 为增函数，当

22

πππ

≤ωx ≤π时，函数f (x ) 为减函数，即当0≤x ≤f (x ) 为增函数，当≤x 时，函数

2ω2ωω

ππ3

f (x ) 为减函数，所以，所以ω＝2ω32

课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．

图1－1

7ππ7π6

－＝π，所以ω＝2，将⎛，－⎫代 【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎛⎝123⎝12⎭2

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校7π3ππ6

入得2×＋φ＝2k π＋，即φ＝2k π＋f (0)＝2sin φ＝2sin .

122332课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ) ，x ∈R ，其中ω>0，－π

π

若f (x ) 的最小正周期为6π，且当x ＝时，f (x ) 取得最大值，则( )

2

A ．f (x ) 在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x ) 在区间[－3π，－π]上是增函数 C ．f (x ) 在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x ) 在区间[4π，6π]上是减函数

2π11ππ

A 【解析】 ∵6π，∴ω. 又∵×＋φ＝2k πk ∈Z 且－π

ω3322

1π⎫ππ1ππ

x ＋，要使f (x ) 递增，须有2k π－x ＋≤2k π＋k ∈Z ，∴当k ＝0时，φ＝f (x ) ＝2sin ⎛⎝33⎭32332

5π5ππ5π

－，⎤上递增． 解之得6k π－≤x ≤6k π＋，k ∈Z ，当k ＝0时，－π≤x ≤f (x ) 在⎡⎣22⎦2222

大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .

【解答】 由a ＋c 2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C ) ，故

22

cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C . 故cos C ＋sin C ＝cos2C ，

22

cos(45°－C ) ＝cos2C . 因为0°

课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC 3，则AB ＋2BC 的最大值为________．

课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 7 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，

由正弦定理，有 AB BC AC 3

＝2， sin C sin A sin B sin60°所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .

所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A ) ＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A ) ＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A

35

＝27sin(A ＋φ) ，(其中sin φ＝，cos φ＝72所以AB ＋2BC 的最大值为7.

课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

π

A ＝2cos A, 求A 的值； (1)若sin ⎛⎝61

(2)若cos A ＝，b ＝3c ，求sin C 的值．

3

本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能

ππ

力．【解答】 (1)由题设知sin A cos A sin 2cos A . 从而sin A 3cos A ，所以cos A ≠0，tan A

66π

＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝3

1

(2)由cos A ＝，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2. 故△ABC 是直角三角形，且

3

π1B ＝sin C ＝cos A ＝.

23

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校πππ1πβ3

课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0

2243423β

＝( ) 2

33536A. B ．－ C. D ．－ 3399

ππ1π23⎛π－β＝3π

πββππβππβπ6

＝，∴cos ⎛α＋＝cos ⎡⎛α⎫－⎛－⎤＝cos ⎛＋α⎫cos ⎛＋sin ⎛α⎫∴sin ⎛⎝423⎝2⎣⎝4⎭⎝42⎦⎝4⎭⎝42⎝4⎭

πβ132265＝×＋sin ⎛×＝. ⎝4233339

π⎫5

，π，sin α＝，则tan2α＝________. 大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎛⎝2⎭5

π⎫452512tan απ，∴cos α＝－－【解析】 ∵sin α＝α∈⎛则tan α＝－，tan2α⎝2⎭35521－tan α

1－⎫2×⎛⎝2⎭4

＝.

13－21－⎛⎝2

π120，，课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎛且sin α＋cos2α则tan α的值等于( ) ⎝24

23

A. C. 2 D. 3 23

1

D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2αsin 2α

4

π31sin α0，⎫，∴cos α＝，sin α＝tan α＝1－cos 2α＝，∵α∈⎛3，故选D. ⎝2⎭422cos α

π⎫1

课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎛⎝4θ⎭＝3，则sin2θ＝( )

7117A B ．－ D. 9999

πππ1

＋2θ⎫＝－⎡1－2sin 2⎛＋θ⎫⎤. 由于sin ⎛θ⎫＝，代入得sin2θA 【解析】 sin2θ＝－cos ⎛⎝2⎭⎣⎝4⎭⎦⎝4⎭3

7

，故选A.

9

1π课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x ) ＝2sin ⎛⎝3x －6，x ∈R .

5π⎫(1)求f ⎛⎝4⎭的值；

ππ106

0，⎤，f ⎛3α＋⎫＝f (3β＋2π)＝，求cos(α＋β) 的值． (2)设α，β∈⎡2⎭13⎣2⎦⎝5

5π⎛15π－π 课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】 (1)f ⎛＝2sin ⎝4⎝346

π10π1ππ

＝＝2.(2)f 3α3α＋－＝2sin α，

4132326

1ππ6

(3β＋2π)－＝2sin ⎛β＋＝2cos β， ＝f (3β＋2π)＝2sin ⎡6⎣3⎝25

π53120，，∴cos α＝1－sin α1－⎛2＝， ∴sin α＝，cos β＝，又∵α，β∈⎡⎣2⎝1313135

243125416

sin β1－cos β＝1－⎛＝，故cos(α＋β) ＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝5551313565

1π课标文数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x ) ＝2sin ⎛⎝3x －6，x ∈R .

ππ106

0，，f ⎛3α＋⎫＝f (3β＋2π)＝，求sin(α＋β) 的值． (1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎡2⎭13⎣2⎝5ππ

＝－2sin ＝－1. 【解答】 (1)f (0)＝2sin ⎛⎝66

10π1ππ

(2)∵＝f 3α＋＝2sin ×3α＋2sin α，

13232661ππ53

＝f (3β＋2π)＝2sin ×(3β＋2π)－＝2sin β＝2cos β，∴sin α＝cos β＝，又α，β∈5362135⎡0，π，∴cos α＝1－sin α＝1－⎛52＝12，sin β＝1－cos β＝1－⎛3⎫2＝4 ⎣2⎝1313⎝5⎭5

5312463

故sin(α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β×.

13513565

π2x . 课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x ) ＝tan ⎛4⎝πα

0，若f ⎛＝2cos2α，求α的大小． (1)求f (x ) 的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎛⎝4⎝2πππk π

课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋k π，k ∈Z ，得x k ∈Z .

4282

⎧⎫παk ππ

x ≠＋，k ∈Z ⎬. f (x ) 由f ⎛＝2cos2α，所以f (x ) 的定义域为⎨x ∈R ⎪⎪8⎝222⎩⎭πa ＋sin ⎛⎝4πsin α＋cos α22

α＋⎫＝2cos2α，得tan ⎛＝2(cosα－sin α) ，整理得＝2(cosα＋sin α)(cosα－⎝4⎭πcos α－sin α⎛cos ⎝α＋4π112⎛0，π，0，sin α) ．因为α∈⎛所以sin α＋cos α≠0，因此(cosα－sin α) ＝即sin2α由α∈⎝4⎝422

πππ0，所以2α＝α＝. 得2α∈⎛⎝2612课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b 2，1＋2cos(B ＋C ) ＝0，求边BC 上的高．

课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运

1

算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C ) ＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A sin A

2

3b sin A 2π＝再由正弦定理，得sin B ＝. 由b

2231

cos B 1－sin B ＝. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B ) ＝⎛⎫. 设边BC 上的高为h ，则有

22⎝22⎭3＋1

h ＝b sin C ＝.

2

课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．

153【解析】 不妨设∠A ＝120°，c

222b ＋(b －4)－(b ＋4)11

b ＝10，所以c ＝6. 所以S bc sin120°＝153.

222b (b －4)

π

课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝tan A ＝2，则sin A ＝________；

4

5a b a

a ＝________.【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝，即

5sin A sin B 25

5

5

＝a ＝210.

22

π1

课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝，sin A a ＝________.

43

52a b a 5

课标文数9.C8[2011·北京卷] 【解析】 ＝，即，得a

3sin A sin B 12

32

5＝

3

大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .

(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .

【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .

2

故cos B ＝，因此B ＝45°.(2)sinA ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°

2262＋6sin A sin C sin60°＝. 故a ＝b ×＝＝1＋3，c ＝b ×＝2＝6.

4sin B

sin B sin45°2课标理数14.C8

图1－5

[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝3，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________． 2

【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有

AC 2＋BC 2－AB 2(23)23cos C ＝＝ACB ＝30°.

2AC ·BC 2×2×32

在△ACD 中，由正弦定理，有

12×2AD AC AC ·sin30°

，∴AD ＝＝2，即AD 的长度等于2. sin C sin ∠ADC sin45°2

2课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．

1

课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝AC ·BC sin C ，得

2

1

AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋222

1

－2×2×2×＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.

2

1

方法二：由S △AB C ＝·BC sin C ，得

2

1

AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°， 2

∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.

课标文理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已

1

知a ＝1，b ＝2，cos C .

4

(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C ) 的值．

1

课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，

4

∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.

42115a sin C 15

(2)∵cos C ＝，∴sin C ＝1－cos C ＝1－＝，∴sin A ＝＝. 444c 28

∵a

1－⎛27

＝⎝88

71151511

∴cos(A －C ) ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝×＋＝848416

课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C

C

＋cos C ＝1－sin .(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b ) －8，求边c 的值．

2

C C

课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin ＝1－cos C ，即sin

22

⎛2cos C 1⎫＝2sin 2C ，

2⎝⎭2

C C C C C 1由sin 0得2cos ＋1＝2sin sin cos ，

222222

3

两边平方得：sin C ＝.

4

C C 1πC ππ37

(2)由sin －0得＜＜，即C ＜π，则由sin C ＝得cos C ，

222422244

由a 2＋b 2＝4(a ＋b ) －8得：(a －2) 2＋(b －2) 2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c 7＋1. 课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B

b

＋b cos 2A 2a ，则( )

a

A ．3 B ．22 C. 3 2

a b

课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin B ＝b sin A ，所以

sin A sin B

a sin A sin B ＋b cos 2A 2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b 2a ，故选D.

课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B

b

＋b cos 2A 2a .(1)；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .

a

【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A 2sin A ，即sin B (sin2A ＋cos 2A ) ＝2sin A .

(13)a b

故sin B 2sin A ，所以＝2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝a 2c

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12

由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3) a 2. 可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，所以B ＝45°.

22

课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．

153AC AB 75

【解析】 解法1＝， 4sin B sin C sin120°sin C

5sin120°3

所以sin C ＝，

7143⎫211

1－⎛＝，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， ⎝14⎭14

311133

所以sin A ＝sin(60°－C ) ＝sin60°cos C －cos60°sin C ××＝，

21421414

1133

所以S △ABC ＝AB ·AC sin A ＝×5×7×＝.

22144

52＋x 2－72

解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝x 2＋5x －24＝0，

10x

解得x ＝3，或x ＝－8(舍去) ，即BC ＝3

11133

所以S △ABC ＝AB ·BC sin B ＝×5×3×sin120°＝×5×3×＝.

22224

课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知cos A －2cos C 2c －a sin C 1

＝求(2)若cos B ＝，△ABC 的周长为5，求b 的长．

cos B b sin A 4

2c －a 2k sin C －k sin A 2sin C －sin A a b c

【解答】 (1)由正弦定理，设＝k . 则＝sin A sin B sin C b k sin B sin B

cos A －2cos C 2sin C －sin A

所以原等式可化为. 即(cosA －2cos C )sin B ＝(2sinC －sin A )cos B ，

cos B sin B

化简可得sin(A ＋B ) ＝2sin(B ＋C ) ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，

sin C sin C 1因此＝2.(2)由正弦定理及2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B

sin A sin A 4

1

b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×＝4a 2. 所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1，

4

因此b ＝2.

课标理数18.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

15

已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R ) ，且ac ＝b 2.(1)当p b ＝1时，求a ，c 的值；

44

(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．

5

1a ＝1，a ＋c ＝，⎧⎧4⎪⎪a ＝4，

【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得解得⎨1或⎨

1c ＝，⎪⎪4⎩⎩c ＝1. ac ＝，4

11

(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c ) 2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，即

22

3⎫316

，2，由题设知p ＞0＜p 2. p 2＝＋cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎛⎝2⎭222

课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A

23

＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ，求边c 的值．

3

【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

所以cos C ＝1－sin C ⎧⎨⎩

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1

有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A 3

1212

(2)由cos A ＝得sin A ，则cos B ＝－cos(A ＋C ) ＝－cos C ＋sin C ，代入cos B ＋cos C

3333

2336π＝cos C ＋2sin C 3，从而得sin(C ＋φ) ＝1，其中sin φ＝，cos φ＝0

π6a sin C 3

则C ＋φ＝，于是sin C ＝c ＝.

23sin A 2

课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知B

π

2A 的值． ＝C, 2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎛4⎝

3

课标文数16.C9[2011·天津卷] 【解答】 (1)由B ＝C ，2b a ，可得c ＝b ＝.

2

3232

a －a 2222

44b ＋c －a 1

所以cos A ＝.

2bc 333

2×a ×a

22

1227

(2)因为cos A ＝，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos A ＝cos2A ＝2cos 2A －1.

339

2

sin2A ＝2sin A cos A ＝.

9π78＋2ππ24222A ＝cos2A cos sin2A sin ⎛－⎫×所以cos ⎛×. 4⎝44⎝9⎭29218

π⎫πx 满足f ⎛－＝大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x ) ＝cos x (a sin x －cos x ) ＋cos 2⎛⎝2⎭⎝3π11πf (0)．求函数f (x ) 在⎡⎣424上的最大值和最小值．

a

大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 【解答】 f (x ) ＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝sin2x －cos2x .

2

ππ3a 1

＝f (0)得－＝－1，解得a ＝3. 因此f (x ) 3sin2x －cos2x ＝2sin ⎛2x . 由f ⎛6⎝3⎝222ππ⎤π11ππππππ3π

时，2x ⎡⎤，f (x ) 为增函数，当x ∈⎡⎤时 ,2x －∈⎡，f (x ) 当x ∈⎡⎣43⎦⎣324⎦6⎣32⎦6⎣24π11π⎤⎛π＝2. 又因f ⎛π＝3，f ⎛11π＝2， ，为减函数．所以f (x ) 在⎡上的最大值为f ⎣424⎦⎝3⎝4⎝24π11π⎤⎛11π⎫＝2. ，故f (x ) 在⎡上的最小值为f ⎣424⎦⎝24⎭

大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f (x ) ＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cosx (x ∈R ) ． (1)求f (x ) 的最小正周期；

ππ0，(2)若函数y ＝f (x ) 的图象按b ＝⎛，⎫平移后得到函数y ＝g (x ) 的图象，求y ＝g (x ) 在⎡⎣4⎝42⎭

上的最大值．大纲文数18.C9[2011·重庆卷]

113133

【解答】 (1)f (x ) ＝sin2x 3cos 2x ＝sin2x ＋＋cos2x ) ＝sin2x cos2x ＋222222

π32π2x ＋＋故f (x ) 的最小正周期为T π. ＝sin ⎛32⎝2

ππππ333

x ＋sin ⎡2⎛x －4＋＋sin ⎛2x －(2)依题意g (x ) ＝f ⎛326⎝42⎝⎣⎝2

ππππ

0，时，2x －∈⎡－，，g (x ) 为增函数， 当x ∈⎡⎣46⎣63

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 ππ330，⎤上的最大值为g ⎛⎫＝所以g (x ) 在⎡⎣4⎦⎝4⎭2.

[2011·济南三模] 函数f (x ) ＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R ) 的最小正周期和最大值分别为( )

A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1

πA ＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示． [2011·东城模拟] 函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) ⎛2⎝

(1)求

f (x ) 的最小正周期及解析式；

π0上的最大值和最小值． (2)设g (x ) ＝f (x ) －cos 2x ，求函数g (x ) 在区间⎡⎣2

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[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C

所对的边分别为a ，b ，c ，若∠A ∶∠B ＝1∶2，且a ∶b ＝13，则cos2B 的值是( )

1133A 2222

[2011·北京西城一模] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b

，c ，S 表示△ABC

1的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝(b 2＋c 2－a 2) ，则∠B ＝( ) 4

A ．90° B ．60°

C ．45° D ．30°