三角函数基本概念和表示_三角函数基本概念
第三章 三角函数
第一节 三角函数及概念
复习要求：
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。
知识点：
1. 任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
2. 角的分类
为了区别起见，我们规定:
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转, 我们称它为零角。 3. 象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
π⎧⎫
⎨α|2k π
2⎭ （1）第一象限角的集合：⎩
π⎧⎫
α|2k π+
2⎩⎭ 。（2）第二象限的集合：
3π⎧⎫α|2k π+π
2⎭ 。（3）第三象限角的集合： ⎩ 3π⎧⎫
α|2k π+
2⎭
（4）第四象限角的集合： ⎩
4. 轴线角
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上, 称这个角为轴线角。它不属于任何象限, 也称为非象限角。
5. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为：
S ={β|β=α+k 3⋅60, k ∈Z }
或
S ={β|β=α+2k π, k ∈Z }
。它们彼此相差
2k π(k ∈Z ) ，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
6. 区间角
区间角是指介于两个角之间的所有角，如
7，角度制与弧度制
1
角度制：规定周角的360为1度的角，记作1，它不会因圆的大小改变而改变，
α=⎨α|
⎧⎩
π
6
≤α≤
π⎫⎡π5π⎤
⎬=⎢, ⎥6⎭⎣66⎦。
与r 无关
弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写) 。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0, 角的正负主要由角的旋转方向来决定。
8. 角的度量
（1）角的度量制有：角度制，弧度制
（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180=πrad 。
360 =2π，180 =πrad ，
1 =
π180
) ≈57.30 rad ≈0.01745(rad ) 1rad =(π180，
（3
9. 弧度数计算公式
l
在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为|α|= r 。
10.
11. 三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，在α的终边上任取一点P (x , y ) , 它与原点的距离r ，则r =|OP |=>0. 过P 作x 轴的垂线, 垂足为M , 则线段
OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y . 把：
y MP y 叫做正弦，即sin α==； r OP r x OM x
比值叫做余弦，即cos α==；
r OP r
y MP y
比值叫做正切，即tan α==。
x OM x
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,
它的终边与单位圆交于
比值
点P (x , y ) , 则：（1）y 叫做α的正弦, 记做sin α, 即sin
α=y ；
（2）x 叫做α的余弦, 记做cos α, 即cos α=x ；
y y
（3）叫做α的正切, 记做tan α, 即tan α=(x ≠0) 。x x
12．三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的 y
++
-+x -+ --+ -α
αα
口决：一全正，二正三切四余
13．三角函数线
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。设单位圆与角α的终边的交点P (x , y ) ，过点P 作PM ⊥x 轴交x 轴于点M ，过单位圆与x 轴的非负半轴交点A 作单位圆的切线与角α的终边（或延长线）交于
点T 。根据三角函数的定义：sin α=MP =y ，cos α=OM =x ，tan α=AT 。
我们把有向线段MP 、OM 、AT , 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
经典例题
例1 写出终边在 x 轴上的角的集合 解： 终边在 x 轴上的角的集合是
{α|α=k 360
o
+0o 或α=k 360o +1800, k ∈Z }={α|α=k 1800, k ∈Z }
α
例2 已知α是第三象限角，则3是第几象限角？
答案：第一，第三，第四象限
例3. （1）若sin θ⋅cos θ>0则θ在第 象限。
ααα
sin 2α,cos2α,sin ,cos ,tan
222中能确定为正值的有 （2）若α是第二象限角，则个。
答案:(1)二、四象限
α
（2）2α为第三第四象限，2为第一，第三象限，所以为1个
例4 已知角α的终边上一点P （-4m,3m) ，且m
r =OP ==-5m
答案：
3m 3-4m 4
∴sin α==-cos α==
-5m 5 -5m 5 3m 3-4m 4
∴tan α==-cot α==-
-4m 4 3m 3
例5 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径为R ，若α=60, R =10cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积 答案：
α=60o =
π
3 所以
l =αR =
π
3
10=
10
π(cm )3
面积:
s =
11π250
αR 2= 10=π(cm 2)2233
基础练习题: 1, 若角
α=-π,
73
则角α是第____象限角（）
A 1 B 2 C 3 D 4 2，α=30是
o
sin α=
1
2的（)
A 充分不必要 B必要不充分
C 充分必要 D既不充分也不必要
3，已知角α的终边经过点P(-1，2) ，则cos α+sin α= ()
A
B C
D
第二节 三角函数的基本公式
复习要求：
1，理解同角三角函数的关系
2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值 3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式 4，理解二倍角的三角函数
知识点:
一、任意角的三角函数
r =
在角α的终边上任取一点P (x , y ) ，记：
x 2+y 2
，
正弦：
sin α=
y x
cos α=
r 余弦：r
x y cot α=tan α=
y x 余切：正切：
r
sec α=
x 正割：
csc α=
余割：
r
y
注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：sin α⋅csc α=1，cos α⋅sec α=1，tan α⋅cot α=1。
tan α=
sin αcos α
cot α=
cos α，sin α。
商数关系：
222222
平方关系：sin α+cos α=1，1+tan α=sec α，1+cot α=csc α。
三、诱导公式
⑴α+2k π(k ∈Z ) 、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值，等于α的同名
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）
π⑵2
+α
π、2
-α
3π3π+α-α、2、2的三角函数值，等于α的异名函数值，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）
sin (2k π+α)=sinα, con (2k π+α)=conα, tan (2k π+α)=tanαsin (-α)=-sinα, con (-α)=conα, tan (-α)=-tanα
sin (π+α)=-sinα, con (π+α)=-conα, tan (π+α)=tanα
⎛π⎫⎛π⎫
sin +α⎪=conα, con +α⎪=-sinα, tan (π+α)=-cotα⎝2⎭⎝2⎭ ⎛3π⎫⎛3π⎫⎛3π⎫sin +α⎪=-conα, con +α⎪=sinα, tan +α⎪=-cotα⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
四、和角公式和差角公式
sin(α+β) =sin α⋅cos β+cos α⋅sin β sin(α-β) =sin α⋅cos β-cos α⋅sin β cos(α+β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β cos(α-β) =cos α⋅cos β+sin α⋅sin β
tan(α+β) =
tan α+tan β
1-tan α⋅tan β tan α-tan β1+tan α⋅tan β
tan(α-β) =
五、二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α…(*)
2tan α1-tan 2α
二倍角的余弦公式(*) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） tan 2α=
1+cos 2α=2cos 2α 1-cos 2α=2sin 2α
1+sin 2α=(sinα+cos α) 2 1-sin 2α=(sinα-cos α) 2
cos 2α=
1+cos 2α1+sin 2α1-cos 2αsin 2α
sin 2α=tan α==
22sin 2α1+cos 2α。 ，，
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
1-tan 2α2tan α2tan α
cos 2α=sin 2α=tan 2α=
1+tan 2α，1+tan 2α，1-tan 2α。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
七、和差化积公式
sin α+sin β=2sin
α+β
2
cos
α-β
2
…⑴
sin α-sin β=2cos
α+β
2
sin
α-β
2
…⑵
cos α+cos β=2cos
α+β
2
cos
α-β
2
…⑶
cos α-cos β=-2sin
α+β
2
sin
α-β
2
…⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
α+βα-βα+βα-β⎛α+βα-β⎫
sin α=sin +cos +cos sin ⎪=sin
2⎭2222 ⎝2α+βα-βα+βα-β⎛α+βα-β⎫
sin β=sin -cos -cos sin ⎪=sin
2⎭2222 ⎝2两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
α+βα-βα+βα-β⎛α+βα-β⎫
cos α=cos +=cos cos -sin sin ⎪
2⎭2222 ⎝2α+βα-βα+βα-β⎛α+βα-β⎫
cos β=cos -cos +sin sin ⎪=cos
2⎭2222 ⎝2两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式
1
sin α⋅cos β=[sin(α+β) +sin(α-β) ]
2 1
cos α⋅sin β=[sin(α+β) -sin(α-β) ]
2 1
cos α⋅cos β=[cos(α+β) +cos(α-β) ]
2
1
[cos(α+β) -cos(α-β) ]2
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。 九、辅助角公式 sin α⋅sin β=-
a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) （）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点(a , b ) 所在的象限相同，
sin ϕ=
b a 2+b 2cos ϕ=
a ，
a 2+b 2，
tan ϕ=
b a 。
经典例题： 例1 已知tan (α)=
3
4，α是第三象限的角，求sin α，解：
sin αtan α=3⎛3π⎫
4=-conα, con ⎝2+α⎪⎭=sinα,
tan α=3sin α3
4∴con α=
4
∴9cos 2α=16sin α2
∴9(1-sin α2)=16sin α2∴sin α2=9
25
α是第三象限的角∴sin α=-35,cos α=
sin α
tan α
例2 已知tan α=3，求下列各式的值
sin α+2con α
（1) 2sin α-3con α (2)sin α2
+2sin αcon α+1 55
答案：3 ， 2
例3 con 120o +tan 225o
=
con 120o +tan 225o
=con (180o -60o )+tan(180o +45o 解:）
=-cos60o +tan 45o =-12
+1
con α
例4，已知tan(α+β) =2tan α, 求证sin(2α+β) =3sin β 证明:
tan(α+β) =2tan α
sin(α+β) sin α
=2
cos(α+β) cos α
∴sin(α+β) cos α=2sin αcos(α+β) ∴
∴sin(α+β) cos α-sin αcos(α+β) =sin αcos(α+β) sin(α+β) cos α+sin αcos(α+β) =3sin αcos(α+β) ∴sin(2α+β) =3[sin (α+β)cos α-sin αcos (α+β)∴sin(2α+β) =3sin β
]
基础练习： 1，已知
cos α=
5
, 且α为第四象限角，那么tan α13的值是（）
551212--
A 12 B 12 C 5 D 5
1
sin (π+θ)=-, 则cos (π-θ)=
22，如果θ是锐角，（） 11
-
A 2 B2
C 2
D 2
-
o o
3，2sin75cos75=（）
1111
--
A 2 B 4 C 2 D 4
若α、β都是锐角，且sin α=
11
cos (α+β)=-, 则β=714
4
，
ππππ
A 3 B 8 C 4 D 6 5，已知
sin 2θ-2sin θ+2cosθ
tan θ=21的值；（2）sin2θ；（3的值
cos 2θ+2cos θ-sin θ