极限为零是否收敛【关于无穷积分收敛被积函数极限为零的条件探讨】

第ｌ卷第４期２００１年１２月

河北职业技术学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＢＥＩＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＣＯＬＬＥＧＥ

Ｖ０１．１Ｎｏ．４Ｄｅｃ．２００１

关于无穷积分收敛被积函数

极限为零的条件探讨

韦

宁１

胡洪池２

（１．河北能源职业技术学院，河北唐山０６３００４；２．唐山师范学院，河北唐山０６３０００）

【摘要】【关键词】

本文论述了无穷积分收敛时，被积函数当自变量趋于无穷大时的极限何时为零的问无穷积分；收敛；被积函数；一致连续

题。通过研究若干新颖的实例，探讨出结论。

Ｄｉ鲫ｓｓｉｏｎ佃ｔｈｅ

Ｗｈｅｎｔｈｅ

Ｌｉｍｉｔ

Ｂｅｃ锄ｉｎｇ

Ｚｅｒ０ｏｆ

Ｉｎｔｅｇ豫ｎｄ

Ｉｎｎｎｉｔｅ

Ｉｎｔｅｇ随ｌｃｏｎｖｅｒｇ鹊

耽ｉ州昭，日配舶呼九ｉ

【Ａｂｓ白ｒａｃｔ】

ｚｅｒｏ

Ｄｕｒｉｎｇｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇ，ｗｈｅｎｄｏｅｓｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｉｎｔｅｇｒａｎｄｂｅｃｏｍｅ

ｔｅｎｄｓｔｏｂｅｉｎｆｉｎｉｔｙ．

Ｔｈｉｓｅｓｓａｙｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｉｓｎｅｗｐｒｏｂｌｅｍ

ａｎｄ

ｗｈｉｌｅｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔＶａｒｉａｂｌｅ

ａ

ｄｒａｗｓ

ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇ

ａ

ｆｂｗｎｏＶｅｌｅｘａｍｐｌｅｓ．

【ＫｅｙⅥ删ｓ】

ｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｉｎｔｅｇｒａｎｄ；ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

［中图分类号］０１３［文献标识码］Ａ

［文章编号］１６７１一１０１７（２００１）㈣０２７—０４

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛时，就必然有Ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｏ。

初学者接触无穷积分时，往往会认为如果Ｉ

例如，‘ｒｊ”当ｄｘ（入＞１），Ｃ。ｉ≥ｄｘ，ｊ．：。ｅ一１ｄｘ都满足这个条件。但是直到我们证明出．厂：。ｓｉｎｘ２ｄｘ

收敛，而被积函数并不满足该条件，事实上Ｌｉｍｓｉｎｘ２不存在。才知道这样猜想并不正确。是什么原因造ｒ．＋∞

ｒ‘∞

成了这个结果呢。如果我们将原因简单归为Ｉ

例１

ｓｉｎｘ２ｄｘ条件收敛所致，就是另一种错误。先看下面例子。

ｆ＋。曼巫ｄｘ条件收敛，且Ｌｉｍ亟：ｏ限于篇幅，略去证明。

ｆ（ｘ）ｄｘ条件收敛时，仍可能发生Ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｏ。于是，得出结论：无穷积分

从此例可以看出，Ｉ

条件收敛，与被积函数趋于０无关（当自变量趋于正无穷时）。

例２设ｆ（ｘ）＝｛：正∞，ｘ：亍卜Ｎ

［收稿日期】２００１—１１—０ｌ

［作者简介】韦宁（１９６１一），男，河北能源职业技术学院科研处，副教授。

第１卷第４期２００１年１２月

河北职业技术学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＢＥＩＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＣＯＬＬＥＧＥ

Ｖ０１．１Ｎｏ．４

Ｄｅｃ．２００１

则Ｉｆ（ｘ）ｄｘ绝对收敛，且Ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｏ。

（Ｎ是自然数集）。

事实上，ＬｉｍＩ‘ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｌｉｍｏ＝ｏ．注意到Ｉｆ（ｘ）Ｉ＝ｆ（ｘ），得到Ｉ

ｆ（ｘ）ｄｘ绝对收敛。而Ｌｉｍｆ（ｘ）不存在，所以Ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｏ。

此例是无穷积分绝对收敛，而被积函数有界但不趋于零的例子。

商３设ｇ㈤＝｛兰延墨嵩州

（Ｎ是自然数集），则

Ｊ

ｌｌ

ｇ（ｘ）ｄｘ收敛，且Ｌｉｍｇ（ｘ）≠ｏ。

ｒ＋＋∞

其收敛性的说明和例２一样，并且也有

Ｌｉｍ

ｇ（ｘ）≠０。但ｇ（ｘ）在［０，＋∞）内是无界的函数。

从例２和例３的讨论中分析，当被积函数在无穷区间内是间断的，尽管其无穷积分是绝对收敛的，但易导致被积函数的极限不为零（当ｘ一＋∞时）。是否连续的函数会导致被积函数的极限为零？也并不尽然，再看下例。

１＋ｎ２（ｘ—ｎ）

ｘ∈［ｎ一÷，ｎ）

ｘ取［１，＋∞）中其它值时

例４设ｇ。（ｘ）＝

０

１一ｎ２（ｘ—ｎ）

ｘ∈［ｎ，ｎ＋壶］

作函数厂（髫）鼍妻踟（石）＋去，则ｊ．ｊ。ｆ（ｘ）ｄｘ收敛。

事实上，当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）是正值有界的连续函数，

且』：。ｒｃｘ，，ｄｘ＝Ｉ『：。ｃ妻踟ｃ石，，ｄｘ＋』ｊ。去如＝墨去＋，∈Ｒ

即

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，但Ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｏ。

ｎ＋ｎ４（ｘ—ｎ）

ｘ∈［ｎ一｛，ｎ）

ｎ

例５设ｇ。（ｘ）＝｛

ｏ

ｘ取［１，＋∞）内其它值时。

ｎ—ｎ４（ｘ—ｎ）

ｘ∈［ｎ，ｎ＋专］

作函数厂（石）：妻ｇｎ（彤），则ｆｊ。ｆ（ｘ）ｄｘ收敛。

事实上，ｆ（ｘ）在［１，＋ｏ。）上连续，非负，且ｊ’ｊ。厂（石）如＝。叠专・ｎ＝妻・÷・∈Ｒ．

所以ｊ．厂（菇）如收敛，但土魄‘（ｘ）≠ｏ。

例４是［１，＋∞）上正值有界的连续函数的无穷积分，例５是［１，＋∞）上非负无界连续函数的无

穷积分，虽然都收敛，但被积函数都不趋于零。为了研究探索无穷积分Ｉ

加条件下，才能有Ｌｉｍｆ（ｘ）＝０，下面给出一组命题。

・

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛时，在什么附

・

第１卷第４期２００１年１２月

河北职业技术学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＢＥＩＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＣＯＬＬＥＧＥ

Ｖ０１．１

Ｎｏ．４

Ｄｅｃ．２００１

命题１若无穷积分ｒ。ｆ（ｘ）、ｄｘ收敛，函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上单调，则ｆ（ｘ）：ｏ（÷）

证明：假设ｆ（ｘ）单调减少，则ｆ（ｘ）应是非负函数。因Ｉ

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，由柯西准则，

对妒ｅ＞ｏ，于Ｍ＞ｏ，当ｘ＞Ｍ时，有ｌ。ｆ（ｔ）ｄｔ＜ｅ。注意到ｆ（ｘ）单减时，

。薹

『ｆ（ｘ）・（专）ｉ＝小（ｘ）抓肛（ｔ）抓￡

从而Ｌｉｍｆ（ｘ）＝０，即ｆ（ｘ）＝０（』）同理可证ｆ（ｘ）单增时的情况。证毕。

值得注意的是，满足命题１的函数并不一定连续。如ｆ（ｘ）＝专，ｎ≤ｘ≤ｎ＋１，Ｖｎ∈Ｎ。

命题２若函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）一致连续，且无穷积分Ｉ证明：由ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）的一致连续性和Ｉ

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，则Ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｏ。

ｆ（ｘ）ｄｘ的收敛性可知，

弋卜ｅ＞０，于６＞Ｏ，当Ｉｘｌ—ｘ２Ｉ＜８时，有Ｉｆ（ｘ１）一ｆ（ｘ２）Ｉ＜ｅ。

对于￡６＞ｏ，当然有Ｍ＞。，当Ｐ卜Ｐ２＞Ｍ时，有ｌｊ＇：ｆ（ｘ）ｄｘｌ＜￡占

这样，当ｘ＞Ｍ时，

ｆ（ｘ）艿Ｉ＝１

ｆ（ｘ）ｄｔ

：ｆ』：＋８（ｆ（ｘ）一ｆ（ｔ））ｄｔ＋』’：＋８ｌｆ（ｔ）ｄｔ｛≤ＩＪ．：＋８ｌ＋Ｉ’ｒ：＋８Ｉ＜２ｅ６

ｒ

ｃｘ，一ｒｃｔ，Ｉ

ｄｔｒ

ｃｔ，ｄｔ

这样得到ｌｆ（ｘ）ｌ＜２￡，从而Ｌｉｍｆ（ｘ）＝０证毕。由命题２，我们还可以得到

ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２在［ｏ，＋ｏ。）．一非一致连续。

命题３若函数ｆ（ｘ）在［ａ，４＋∞）有连续的导函数ｆ，（ｘ），且无穷积分ｌ

都收敛，则Ｌｉｍｆ（ｘ）＝０。

证明：因为Ｌｉｍｆ（ｐ）＝Ｌｉｍ（ｆ（ｐ）一ｆ（ａ））＋ｆ（ａ）

＝Ｌｉｍ

ｆ（ｘ）ｄｘ与Ｉ

ｆ，（ｘ）

ｌ‘ｆ’（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ａ）∈Ｒ

所以ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）一致连续，再用命题２即得结论。证毕。

从上述命题我们可以发现ｆ（ｘ）的一致连续性和单调性对Ｌｉｍｆ（ｘ）＝０起着至关重要的作用，尤其是一致连续性，作用更大。

命题４设ｆ（ｘ）定义在［ａ，＋∞）上，给定艿＞０，ｔ０≥ａ，令∞（ｆ，ｔ０，８）＝ｓｕｐ｛｜ｆ（ｔ１）一ｆ（ｔ２）Ｉ；ｔ１、ｔ２≥ｔ０；Ｉ‘ｌ—ｔ２Ｉ≤占｝。

若积分ｌ’ｆ（ｔ）ｄｔ收敛，则Ｌｉｍｆ（ｔ）＝ｏ。的充要条件是Ｌｉｍ∞（ｆ；ｔｏ；占）＝ｏ

Ｐ＋。

ｏ口

（１）

ｔ０一＋。

争＋Ｏ

证明必要性：设Ｌｉｍｆ（ｔ）＝ｏ，则任给￡＞ｏ，存在ｔｏ（￡）≥ａ，当ｔ≥ｔｏ时，ｌ

ｆ（ｔ）Ｉ≤音。

・２９・

第１卷第４期

２００１年１２月

河北职业技术学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＢＥＩＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＣＯＬＬＥＧＥ

Ｖ０１．１Ｎｏ．４Ｄｅｃ．２００１

因此，对于ｔｌ，ｔ≥ｔｏ，有

ｆ（ｔ１）一ｆ（ｔ２）Ｉ≤ｌｆ（ｔ１）Ｉ＋Ｉｆ（‘２）Ｉ≤￡

于是

Ｌｉｍ∞（ｆ；ｔｏ；８）＝０。

ｔ０一＋。

充分性：设（１）式成立而Ｌｉｍｆ（ｔ）＝０不成立，则存在递增且趋于＋∞的数列｛ａｋ｝和正数ｂ，使

得ｆ（ａｋ）≥ｂ，或者ｆ（ａｋ）≤一ｂ（ｋ＝１，２，…），不妨设ｆ（ａｋ）≥ｂ。由于ｃ户０，故存在８和ｔｏｉ使得

当ｔ１，ｔ２≥ｔｏ且ｌ

ｔ１一ｔ２

Ｉ≤６时，

就有：Ｉｆ（ｔ１）一ｆ（ｔ２）Ｉ≤等。

（２）

由于Ｉ

ｆ（ｔ）ｄｔ收敛，根据ｃａｕｃｈｙ准则，可取充分大的实数Ｒ≥ｔｏ，使得对任何Ｐ＞Ｑ＞Ｒ，有

（３）

＂ｆ（ｔ）ｄｔＪ＜ｂ艿

取ｋ充分大使ａｋ＞Ｒ＋８，

由于（２），对于ａｋ＋８≤ｔ≤ａｋ＋ｓ，有ｆ（ｔ）≥罢，于是Ｉ＃；ｆ（ｔ）ｄｔＩ≥考・２８＝ｂ６。这与（３）矛

盾。证毕。

由于Ｌｉｍ∞（ｆ；ｔｏ；６）＝０可得，

任取￡＞０，存在Ｍ和否，当ｔｏ＞Ｍ和８＜否时，有

∞（ｆ；ｔ０；艿）

＜￡。

，

即，当ｔ１，ｔ２＞Ｍ，且Ｉｔ１一ｔ２Ｉ＜否时，有Ｉｆ（ｔ１）一ｆ（‘２）Ｉ＜￡。

所以，若ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上连续，则ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）一致连续，反过来。若ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）一致连续，当然有Ｌｉｍ∞（ｆ；ｔ０；６）＝Ｏ，于是得到：

推论若ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上连续，且Ｉ

在［ａ，＋ｏｏ）上一致收敛。

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，则Ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｏ的充要条件是ｆ（ｘ）

通过以上讨论，最后得到，若Ｉ

Ｌｉｍ

ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，则当ｆ（ｘ）不连续时，ｆ（ｘ）需要满足条件（１）

才能有Ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ｏ；而ｆ（ｘ）单调是一种特殊情况。当ｆ（ｘ）连续时，需要ｆ（ｘ）一致连续，才有

ｆ（ｘ）＝０。

［责任编辑：李正］

关于无穷积分收敛被积函数极限为零的条件探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

韦宁， 胡洪池

韦宁(河北能源职业技术学院,河北,唐山,063004)， 胡洪池(唐山师范学院,河北,唐山,063000)

河北职业技术学院学报

JOURNAL OF HEBEI POLYTECHNIC COLLEGE2001，1(4)0次

相似文献(10条)

1.期刊论文 陈琳. 祝丽萍. 岳华. CHEN Lin. ZHU Li-ping. YUE Hua 无穷积分的被积函数收敛的充分性分析 -伊犁师范学院学报（自然科学版）2007,""(1)

就无穷积分的被积函数收敛的充分性进行分析,揭示出在无穷积分收敛的条件下被积函数收敛与被积函数的分析性质之间的关系,从而更加深刻地理解无穷积分理论与级数理论的差异.

2.期刊论文 王宇凡. WANG Yu-fan 关于无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛的必要条件 -阴山学刊（自然科学版）2007,21(4)

本文从无穷级数收敛的必要条件出发,通过无穷积分和无穷级数的紧密联系,给出无穷积分收敛的一个必要条件.

3.期刊论文 丁殿坤. 邹玉梅. DING Dian-kun. ZOU Yu-mei 无穷积分收敛的必要条件 -河南教育学院学报(自然科学版)2005,14(1)

给出了无穷积分收敛的必要条件,从而可运用必要条件判定某些无穷积分的发散性以及进行有关的证明.

4.期刊论文 陈鹏. CHEN Peng 有界变差在无穷积分收敛中的几个结果 -渤海大学学报（自然科学版）2006,27(1)

推广了一般形式的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,从有界变差的角度得到了判别无穷积分收敛的几个结果.

5.期刊论文 罗李平 关于无穷积分收敛的必要条件的讨论 -高等数学研究2005,8(4)

当无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛时,若f(x)在[0,+∞)上一致连续,或者知limx→+∞f(x)存在,那么都有limx→+∞f(x)=0.

6.学位论文 孙幸荣 关于无穷积分收敛的必要条件的探讨 2008

非正常积分是积分论的重要内容。对于非正常积分收敛的充分条件,大学课本已给出了很细致的讨论。但关于非正常积分收敛的必要条件都作为练习留给学生了。

本文全面总结了关于无穷积分收敛的所有已知的必要条件。我们给出了这些结果的详细证明并讨论了这些结果的应用。此外,对于无穷积分与无穷级数的比较也作了讨论。

7.期刊论文 张凯. 郭志林. ZHANG Kai. GUO Zhi-lin 区间值函数的无穷积分及其收敛性 -菏泽学院学报2006,28(2)

在区间值函数积分定义的基础上,给出了区间值函数无穷积分的概念,并讨论了区间值函数无穷积分的性质,得出了区间值函数的无穷积分收敛的判别方法.

8.期刊论文 无穷积分被积函数的构造 -江汉大学学报（自然科学版）2009,37(3)

利用无穷积分与级数的敛散性关系,构造一类特殊函数作为无穷积分的被积函数,分析说明无穷积分绝对收敛,不能保证其无穷积分平方收敛.

9.期刊论文 关冬月 关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件 -内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(5)

数项级数∑∞n=1un与广义积分∫+∞af(x)dx之间可以互相转化,函数项级数∑∞n=1un(x) (x∈I)与含参变量广义积分∫+∞af(x,y)dx (y∈I)之间也可以互相转化.鉴于此,无穷级数与无穷积分在收敛性及相关的性质方面有诸多相似之处.本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛的必要条件的不同之处,并给出几个必要条件.

10.期刊论文 唐国吉 无穷积分与瑕积分的一个关系 -广西民族学院学报(自然科学版)2002,""(z1)

本文以反函数为工具,对无穷积分与瑕积分的关系进行研究,得到了无穷积分∫+∞af(x)dx收敛与瑕积分∫f(a) 0f -1(x)dx收敛互为充要条件的重要结果,并且利用该结果揭示了∫+∞a(1)/(x λ)dx与∫ba(1)/((x-a) λ)dx敛散性判别的参数取值的差异问题.

本文链接：.cn/Periodical_hbzyjsxyxb200104009.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1123cc95-8da9-494c-b08e-9dcd010e3ad6

下载时间：2010年8月9日