【从调和点列到Apollonius圆到极线】调和点列

从交比到调和点列到Apollonius 圆到极线极点

-------2010年高中数学联赛几何题本质探讨

西安交大附中曲江校区 金磊 710049 收稿日期：2010-10-21修回日期2010-11-20

2010年10月17日结束的2010年全国

高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐

角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ． 求证：若OK ⊥MN ，则ABDC 四点共圆．

图 1

本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。 知识介绍

定义1 线束和点列的交比：如图2，共点 于O 的四条直线被任意直线所截的有向线

段比AC BC

AD /

BD

称为线束OA 、OC 、OB 、OD 或点列ACBD 的交比。[1]

定理1 线束的交比与所截直线无关。

图 2

证明：本文中把△ABC 面积记做[ABC]

AC BC

[AOC ][BOC ]

AD /BD =[AOD ]/[BOD ]

=CO sin ∠AOC CO sin ∠COB

DO sin ∠AOD /

DO sin ∠BOD

=

sin ∠AOC sin ∠COB

sin ∠AOD /

sin ∠BOD

从而可知线束交比与所截直线无关。

定义2 调和线束与调和点列：交比为-1，

即AC AD =-BC BD

的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。

定理2 调和点列等价性质：

（1）、

2A D =1AB +1A C

（2）、令O 为CD 中点，则OC 2

=OB ⋅OA 证明：由基本关系式变形即得，从略。 定理3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四条平行（由定义即得，证略）定义3 完全四边形：如图3，凸四边形ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF ，AC 、BD 、EF 称为其对角线

（一般的四条直线即交成完全四边形）。[2] 定理4 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH 、BGDI 、EHFI 分别构成调和点列。

希腊数学家Apollonius 最先提出并解决[2]（注：当k=1时轨迹为AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。

图 3

分析：只需证EHFI 为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。 证法一：面积法

HE IF [AEC ][BDF ]

HF ⋅IE =

[AFC ][BDE ]

=

[AEC ][ACD ][BDF ][BEF ]

[ACD ][AFC ][BEF ][BDE ]

=

EC AD DC AF HE CD ⋅AF EC ⋅AD =1，即HF =

IE

IF

。 证法二：由Ceva 定理EH HF ⨯FD AB

DA ⨯BE =1，

由Menelaus 定理得到EI FD AB

IF ⨯DA ⨯BE

=1，

故 HE IE HF =

IF ，即EHFI 为调和点列。 定理5 完全四边形ABCDEF 中，四个三角形AED 、ABF 、EBC 、FDC 的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel ）点。 证明：设两圆交于一点，计算角易得。

D

图 4

定义4 阿波罗尼斯（Apollonius ）圆：到两定点A 、B 距离之比为定值k （k >0且k ≠1）的点的轨迹为圆，称为Apollonius 圆，为古

证明：如图4由AP=kPB，则在AB 直线上有两点C 、D 满足

AC BC

=

AD BD

=k , 故PC 、

PD 分别为∠APB 的内外角平分线，则CP ⊥DP ，即P 点的轨迹为以CD 为直径的圆O(O为CD 中点) 。（本题解析法亦可）

显然图4中ACBD 为调和点列。

定理6 在图4中，当且仅当PB ⊥AB 时，AP 为圆O 的切线。 证明：当PB ⊥AB 时∠APC=∠BPC=∠CDP 故AP 为圆O 的切线，反之亦然。

定理7 Apollonius 圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个： 1.PC （或PD ）为∠APB 内（外）角平分线 2. CP⊥PD

3.ACBD 构成调和点列（证略）

定义5 反演：设A 为○O （r ）平面上点，B 在射线OA 上，且满足OA*OB=r*r，则称A 、B 以○O 为基圆互为反演点。

定理8 图4中，以Apollonius 圆为基圆，AB 互为反演点。（由定理2（2）即得。） 定义6 极线与极点：设A 、 B 关于○O （r ）互为反演点，过B 做OA 的垂线l 称为A 点对圆O 的极线；反之对任意直线l 相应的A 点称为l 对圆O 的极点。[3]

定理9 当A 点在○O 外时，A 的极线为A 的切点弦。（由定理6即得。）

图 5

定理10 若A 的极线为l ，过A 的圆的割线

ACD 交l 于B 点，则ACBD 为调和点列。 证明：如图5，A 的切点弦为 PQ ，则 BC BD =[QPC ][QPD ]=CP DP ⋅CQ AP AC AC

DQ =AD ⋅AQ =AD 即ACBD 为调和点列。 定理11 配极定理：如图6，若A 点的极线通过另一点D ，则D 点的极线也通过A 。一般的称A 、D 互为共轭点。 证法一：几何法，作AF ⊥OD 于F ，则DFGA 共圆，得OF*OD= OG*OA =OI 2

，由定义6知AF 即为D 的极线。

图 6

证法二：解析法，设圆O 为单位圆，A （x 1, y 1）, D （x 2, y 2），A 的极线方程为xx 1+yy 1=1，由D 在其上，得x 2x 1+y 2y 1=1，则A 在

xx 2+yy 2=1上，即A 在D 的极线上。

定理12 在图6中，有

AD 2=A 的幂+D的幂（对圆O ）证明：A D 2

=A G 2

+DG

2

=(A G 2

+BG2

)+(DG2

-BG 2

)

=A的幂+D的幂

定义7 调和四边形 对边积相等的四边形称为调和四边形。（因为圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名） 定理13 图5中PDQC 为调和四边形。 证明：由定理9的证明过程即得。

例题选讲

例1 如图7，过圆O 外一点P 作其切线PA 、PB ，OP 与圆和AB 分别交于I 、M ，DE 为过M 的任意弦。求证：I 为△PDE 内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）

分析：其本质显然为Apollonius 圆。 证明：由定理6知圆O 为P 、M 的Apollonius 圆，则DI 、EI 分别为△PDE 的内角平分线，即I 为△PDE 内心。

注：对图7我们有过M 的任意弦与P 构成的所有三角形有共同的内心I 。反之亦然。

D

图 7

例2 如图8，△ABC 中，AD ⊥BC ，H 为AD 上任一点，则∠ADF=∠ADE （1994年加拿大数学奥林匹克试题）

图 8

证明：对完全四边形AFHEBC ，由定理4知FLEK 为调和点列。又AD ⊥BC ，由定理7得∠ADF=∠ADE 。

例3 如图9，四边形AFDE 中，AD 平分∠FDE ，P 为AD 上任一点，FP 交AE 于N ，EP 交AF 于M ，则∠MDA=∠NDA 。（1999年全国高中数学联赛）

图 9

证明：本题为例2推广，过D 作AD 垂线，则FLEK 构成调和点列，从而对完全四边形FENMAK 必有MNK 共线，由例2即得∠MDA=∠NDA 。

例4 如图10，完全四边形ABCDEF 中，GJ ⊥EF 与J ，则∠BJA=∠DJC （2002年中国国家集训队选拔考试）

图 10

证明：由定理4及定理7有∠BJG=∠DJG 且∠AJG=∠CJG ，则∠BJA=∠DJC 。

通过例2到例4，结合定理7，我们可以断言：由垂直证角平分线的问题，本质都为调和点列。

例5 P 为圆O 外一点，PA 、PB 为圆O 的

两条切线。PCD 为任意一条割线，CF 平行PA 且交AB 于E 。求证：CE=EF（2006国家集训队培训题）

证明：由定理10及定理3即得。 例6 如图13，过圆O 外一点P 做割线PAB 、PCD ，E 、F 为对角线交点，则EF 为P 对圆O 的极线。（1997年CMO 试题等价表述）

图 11

证法一：作

AEB 外接圆交PE 于M ，则PE*PM=PA*PB=PC*PD，即CDME 共圆（易知P 为三圆根心且M 为PAECBD 密克点），

从而∠BMD =∠BAE +∠BCD =∠BOD ,

即BOMD 共圆。∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°则M 为ST 中点，由定理10及定理2（2）知E 在P 极线上，同理F 亦在P 极线上，故EF 为P 的极线。

图 12

证法二：如图14，证明E 在P 的切点弦ST 上即可。在△ABT 中，有

调和点列，由定理11知AD 的极点在HI 上，

AU BV TW

**=UB VT WA

AS sin ∠AST BD sin ∠BDA TC sin ∠TCB

⋅⋅=

BS sin ∠BST DT sin ∠TDA AC sin ∠ACB

AS BD TC PS PB PD ⋅⋅=⋅⋅=1 BS DT AC PB PD PT

由塞瓦定理逆定理知ST 、AD 、BC 三线共点于E ，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。

至此，点P 在圆O 外时，我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义： 1、过P 反演点做的OP 的垂线。 2、P 对圆O 的切点弦。

3、过P 任意做两条割线PAB 、PCD ，AD 、BC 交点与AC 、BD 交点的连线。(注：切线为割线特殊情形，故 2、3是统一的) 4、过P 任意作割线PAB ，AB 上与PAB 构成调和点列的点的轨迹的所在直线。 例7 △ABC 内切圆I 分别切BC 、AB 于D 、F ，AD 、CF 分别交I 于G 、H 。求证：

DF ⨯GH

FG ⨯DH

=3(2010年东南数学奥林匹克)

图 13

证明：如图15，由定理13知GFDE 为调和四边形，由托勒密定理有GD*EF=2FG*DE， 同理HF*DE=2DH*EF相乘得 GD*FH= 4DH*FG又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH，代入即得DF ⨯GH

FG ⨯DH

=3

例8 已知：如图16，△ABC 内切圆切BC 于D ，AD 交圆于E ，作CF=CD，CF 交BE 于G 。求证：GF=FC（2008年国家队选拔） 证明：设内切圆的另两切点为H 、I ，HI 交BD 于J ，连JE 。由定理10知AEKD 构成

图 14

又AD 极点在BD 上，故J 为AD 极点；则JE 为切线，BDCJ 为调和点列，由CF=CD且JD=JE知CF//JE，由例5知GF=FC。 （注：例8中BDCJ 为一组常见调和点列） 例9 如图17，圆内接完全四边形ABCDEF 对角线交于G ，则EFGO 构成垂心组（即任意一点是其余三点构成的三角形的垂心）。 证明：由定理12有EG 2

=E 的幂+G 的幂

EG 2-FG 2=(E 的幂+G 的幂)-(F的幂+G 的幂)=E 的幂-F 的幂=EO 2

-FO

2

从而OG ⊥EF ，其余垂直同理可证。

注：本题结论优美深刻，比较早的见于初版于1929年的[4]，它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius 圆、垂心组等几何中的核心内容。本文开头提到的2010年联赛题为本题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的反证法在情理之中：如图1，设D 不在圆O 上，令

AD 交圆O 于E ，CE 交AB 于P ，BE 交AC 于Q 。由例9得PQ//MN；由定理4得MN 、AD 调和分割BC ，同理PQ 亦然，从而PQ//MN//BC，得K 为BC 中点，矛盾！故ABCD 共圆。

其实本题也可直接证明，如下：如图18，由例4得∠1=∠2；由正弦定理有

JG//CM，即证

LK LJ LG 2LG

，===

KA JC GM GA

而这由调和点列基本关系变形即得。

OJ Sin ∠OBJ =OB OC OJ Sin ∠1=Sin ∠2=

Sin ∠OCJ ，从而Sin ∠OBJ=Sin∠OCJ ，又K 不是BC 中点，故Sin ∠OBJ+∠OCJ =180°，则OBJC 共圆；

∠MJB =∠NJC =1

2

∠BOC =∠BAC ，由

定理5得ABDC 共圆。

图 16

以例9为背景的赛题层出不穷，以下再稍举几例，以飨读者。

例10 △ADE 中，过AD 的圆O 与AE 、DE 分别交于B 、C ，BD 交AC 于G ，直线OG 与△ADE 外接圆交于P 。求证：△PBD 、△PAC 共内心（2004年泰国数学奥林匹克） 分析：本题显然为密克点、Apollonius 圆、极线及例10等深刻结论的简单组合。

证明：如图17，由定理5知本题中P 即为完全四边形密克点，由例10得P 为垂足，由定理6知圆O 即为PG 的Apollonius 圆，由例1知△PBD 与△PAC 共内心。

例11 △ABC 中，D 在边BC 上且使得∠DAC=∠ABC ，圆O 通过BD 且分别交AB 、AD 于E 、F ，DF 交BE 于G ， M 为AG 中点，求证：CM ⊥AO （2009年国家队选拔）分析简证：如图19，设EF 交BC 于J 。由定理3得AKGL 为调和点列，倒角得EJ//CA，由例10有JG ⊥OA ，故只需证

图 17

例9中OG ⊥EF 对圆外切四边形亦然。例12 如图21，设圆O 的外切四边形ABCD 对角线交于EFG ，则OG ⊥EF 。（2009年土耳其国家队选拔考试）

图 18

证明： G 在BD 上，由定理11知BD 、AC 极点E ’、F ’在EF 上，同理可证其余共点如图21。则对圆外切四边形A ’B ’C ’D ’，其对角线交点与对应的圆内接四边形ABCD 对角线交点G 重合，由例9得 OG ⊥EF 。

图 19

例13 如图22，ABCD 为圆O 的外切四边

形，OE ⊥AC 于E ，则∠BEC=∠DEC(2006年协作夏令营测试题)

分析：上面我们说过，见到已知垂直要证角平分线必为调和点列。 证明：如图22，做出辅助线，由例12知FI 、BH 、CH 分别交对边于E 、F ，EF 交AD 于K ，任意做过K 的直线与CF 、CE 、CD 交于M 、N 、Q ，都有∠MDF=∠NDE 。（2003年保加利亚数学奥林匹克）

提示：由 CA、CK 、CH 、CD 构成调和线束，GH 、BD 共点于M ，且为AC 的极点，从而OE 也过M ，且BLDM 构成调和点列，由例4得∠BEC=∠DEC 。

最后我们看一道伊朗题及其推广

例14 △ABC 内切圆I 切BC 于D ，AD 交I 于K 。BK 、CK 交I 于E 、F ，求证：BF 、AD 、CE 三线共点。（2002年伊朗国家队选拔考试题）

分析：本题一般思路为Ceva 定理计算，计算量不小。而且有人将其推广为对AD 上任意一点K ，都有本结论成立。推广题难度极大，网络上有人用软件大量计算获证，也有高手通过复杂的计算得证[5]。其实从调和点列、极点、极线角度看本题结论极为显然。

图 20

证明：设A 点极线交BC 于J ，由例8得BDCJ 为调和点列，故对AD 上K 点，由定理11知EF 必过J 点；由定理4 对完全四边形BEFCJK 必有 CE 、BF 、AK 共点。

练习：

1 H 是锐角△ABC 的垂心，以BC 为直径作圆，自A 作切线AS 、AT 。求证：S 、H 、T 三点共线。（1996CMO 试题） 提示：本题为例7特例

2 在完全四边形ABCDEF 中，过AC 、BD 交点做AB 平行线被CD 、EF 平分。 提示：由定理4及定理3即得

3 △ABC 中，AD ⊥BC ，H 为AD 上一点，

得NKMQ 为调和点列，有∠MDK=∠NDK 和∠KDF=∠KDE, 从而有∠MDF=∠NDE 。

4 设以O 为圆心的圆经过△ABC 的两个顶点A 、C ，且与边AB 、BC 分别交于两个不同的点K 和N ，又△ABC 和KBN 的外接圆交于点B 及另一点M ，求证：∠OMB 为直角。（第22届IMO ）

提示：由定理3及例10即得

参考文献： 1、《高等几何》 梅向明等 1988年 高等教育出版社 2、《初等数学复习及研究（平面几何）》 梁绍鸿 2008年 哈尔滨工业大学出版社 3、《射影几何趣谈》 冯克勤 1983年 上海教育出版社 4、《近代欧式几何》 单墫 译 1999年 上海教育出版社 5、《多功能题典（高中数学竞赛）》 单墫 熊斌 2008年 华东师范大学出版社