基于数学建模的经济变量线性回归统计预测研究_线性回归方程计算器

　　摘要：用数学方程式确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，被称之为回归分析，在估计和预测因变量的值时比较常用。本文对基于数学建模的经济变量线性回归统计预测做了简单的分析研究。
　　关键词：数学建模 经济变量 回归统计 预测研究
　　
　　回归分析是一种确定两种或者两种以上变数间相互依赖的定量关系的统计分析方法，回归分析按照自变量的多少，可以分为一元回归分析和多元回归分析。随着回归分析的发展，统计学家们建立了多种回归模型进行统计分析，数学建模和预测参数成为了回归分析研究的主要内容。
　　回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系，建立回归模型。回归分析按照自变量的多少可在表1中体现出来。
　　在我们研究产品价格和其他因素对于销量影响程度的时候，我们可以应用到回归分析的相关理论，如表2。
　　利用数学建模回归分析可以解释如下问题：价格、广告、促销等各种因素之间的关系是怎样的。价格是怎样做到影响销量的？如果价格和广告支出同时变化一定量的值。那么销量预期又是多少。
　　在这个实例中，销售额属于因变量、价格、广告、促销等属于自变量。在回归分析应用中，一般会采用与方法相适应的固定步骤，首先，要根据自变量和因变量的因果关系来确定回归模型；然后，根据认真观测数据，评价回归函数的实时数据，并且估计该回归函数的相关参数；最后，还要检验该估计数学的准确性。
　　一、绘制并观测散点图
　　要根据散点图来判断，假设是否存在线性关系，例如以上广告与销售额的关系，我们通过绘制散点图，并且观测，最终得到这样一个结论，二者之间的呈一元一次的函数关系趋势，而且呈正相关形态。此时，我们就要考虑建立回归模型，根据散点图判断，我们建立的是一元一次方程模型。
　　二、建立数学模型，预测回归函数
　　1．一元线性回归分析
　　一元线性回归的标准式为：Y＝a＋bx＋ε，这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差。
　　以我们上面举过的广告费和销售额为例，我们在估计因变量Y（销售额）的值，所以做出建立如下函数：回归函数y’=a+bx
　　在这个函数中y’作为y的估算值，a当自变量为零时，因变量的值，b是函数的系数、直线的斜率。运用数学知识我们可以知道，我们要计算出a和b的值，才能确定回归方程，我们可以用最小二乘法确定参数a、b。最小二乘法是最重要的统计估计方法之一，观察值与估计值的偏差平方后，较大的偏差权重加大，从而避免了正负偏差相互抵消。
　　Σ（y-yc）=最小值，设Q=Σ（y-yc）��2＝最小值yc=a+bx代入上式，得：Q=Σ（y-a-bx）��2＝最小值偏导数得
　　Σy=na+bΣx
　　Σxy=aΣx+bΣx��2
　　经过整理和计算最终会得到a和b。
　　a、b确定后，回归直线方程yc=a+bx，在确定x值后，就可以继续推算y的值，然后根据资料代入各相关值，就可以得到最终的a和b值，确定回归方程模型。
　　2．多元线性回归分析
　　在现实中往往一个因变量受多个自变量的影响。如果只用一个自变量来进行回归分析，分析的结果就存在问题；如果将影响因变量的多个因素结合在一起进行分析，则更能提示现象内在的规律，统计中，将涉及两个及以上的自变量的线性回归分析，称为多元线性回归分析。
　　多元线性回归分析研究因变量和多个自变量的线性关系，这种线性关系也可用数学模型来表示。记因变量为y，因变量y与自变量x1，x2，x3，…，xn之间存在线性关系，可用多元线性回归方程来表示这种关系。设多元线性回归方程为：yc=a+b1x1+b2x2+b3x3+…+bnxn，式中a，b1，b2，b3，…bn为线性回归方程的参数，要解出多元线性回归方程，同样也必须要首先确定这些参数，参数的求解是通过多元线性方程组来进行的。由于二元线性回归方程是最典型的多元线性回归方程，通过观察求解二元线性回归方程参数的过程，就可了解其他类型的多元线性回归方程参数，本文采取二元线性回归方程为例，了解其他的多元线性回归方程参数的求解方法。
　　设有二元线性回归方程：Yc=a+b1x1+b2x2
　　要确定该回归方程，必须要先求解a，b1，b2三个参数。同样要用最小二乘法求解得如下方程：
　　Σy=na+b1Σx1+b2Σx2
　　Σx1y=aΣx1+b1Σx12+b2Σb1x1
　　Σx2y=aΣx2+b1Σx1x2+b2Σx2
　　利用该方程组可以确定a，b1，b2三个参数的值，此时既可以确定Yc=a+b1x1+b2x2，具体方法和一元线性回归相同，代入相关资料，给出自变量的值，就可以得到估算值。以广告和促销为例，广告、销售额之间存在着关系，销售额、广告费是自变量，利润额是因变量。可以带入上式。
　　三、估算标准差
　　在确定回归模型之后，我们还需要做以下程序，包括对回归模型的检验和确定等。线性回归方程模型建立的一个重要作用就是，能够根据自变量的已知值来推算因变量的可能值。这个可能值包罗万象，既可以称作称估计值，也可以称作理论值、平均值，它和真正的实际值可能一致，也可能不一致。在这种情况下就产生了估计值的代表性问题。推算后，如果yc与y值一致时，就表明推断结构准确；如果yc与y值不一致时表明推断结构有所误差。可以明显地得出这样结论，将一系列yc值与y值加以比较，就可以发现其中存在着一系列离差，有的是正差，有的是负差。一般来说，回归方程的代表性如何，都是通过估计标准误差指标的计算来加以检验。估计标准误是用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标，其计算原理与标准差基本上相同。通常是代入公式，并且进行计算，同样要提取大量的资料。
　　但是，回归分析只能判断和证明变量的关系，并不是证明因果关系的一种方法，所以主要的工作是对历史数据和大量资料的搜集和观测，只有做好了这项工作，才能保证预测的准确性。回归分析中的因果关系通常只是一个假设，即研究者的猜测。因而，始终必须检验此类假设的可信性，对此需要统计学以外的知识，即理论和逻辑思考，或者进行实验。
　　四、结论
　　回归分析的统计预测是在为因变量和自变量收集历史数据，虽然因变量和自变量有所区别，但是必须看到，这只是统计研究的一种预测和假设。需要用理论分析和逻辑推导去验证。由于篇幅有限，在此没有给出具体实例，来说明数学建模经济变量线性回归统计预测的统计方法。不过，这种在实际中适当运用数学建模的理论，做好经济变量的统计预测方法，在经济变量的线性回归统计中有着重要的应用。
　　参考文献：
　　[1]张玲．基于数学建模基础上的经济变量线性回归统计预测分析[J]．统计与咨询，2010，（1）．
　　[2]林彬．多元线性回归分析及其应用[J]．中国科技信息，2010，（9）．
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