高中数学二次函数 [浅析二次函数在高中阶段的应用]

　　【摘 要】本文就进一步深入理解函数概念，二次函数的单调性，最值与图像，结合应用浅谈了个人的理解和看法。　　【关键词】二次函数；图像；单调性　　二次函数是高中数学的一个重要的知识点，是每年高考必考的重要考点之一，因此进入高中以后，尤其是高三复习阶段，对二次函数的理解还需再深入。
　　一、加深对二次函教概念的理解
　　函数的定义在初中教材中已经涉及，进入高中后利用映射的观点重新引入并加深了函数的定义讲解，这个阶段主要以二次函数作为重点内容。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:A→B。对于任给的集合A中的元素x，唯一存在一个集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与之对应，记为 f(x)=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的像，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　例1：设f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)。
　　这个问题可以理解为，在已知对应法则的条件下，即定义域中的元素x+1的像是x2-4x+1，然后求定义域中元素的像，问题的本质是求对应法则f。解决的办法可以是换元法或者配方法，这些技能主要是是建立在对二元函数的基本形式熟悉的基础上。
　　以上例题主要是要帮助学生理解函数的概念，特别注意函数的三要素。
　　二、二次函数的单调性，最值与图像
　　形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。对这个定义的理解应要将二次函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项分别与函数的图像结合起来理解记忆。如：
　　（1）系数a决定抛物线的开口方向与开口的大小，当a＞0时，抛物线的开口向上，有最低点，有最小值，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。当a＜0时，情况刚好相反。而a还决定了抛物线的开口大小。a越大，开口就越小，反之a越小开口就越大。
　　（2）系数c决定了抛物线与ｙ轴交点的纵坐标。
　　（3）a随b共同决定了抛物线的对称轴。
　　例2：设f(x)=x2-2x-1在区间t,t+1上的最小值为g(t)，求出g(t)的表达式并画出y=g(t)的图像。
　　解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值－2。当1∈t,t+1，即0≤t≤1，g(1)=-2；当t＞1时，g(t)=f(t)=t2-2t-1；当t＜1时，g(t)=f(t+1)=t2-2，图像略。
　　解决这类问题，首先要使学生弄清楚题意，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化。
　　三、二次函数与导数的结合应用
　　在历年的高考中，二次函数与导数的结合是出现频率非常高的一种题型，它主要考查学生用导数研究函数单调性，最值，考查综合运用数学知识解决间题的能力。
　　例3：两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=-x2+2x+d的图像有唯一的公共点P（1，－2）。
　　（1）求b，c，d的值；（2）设F(x)=(f(x)+m)g(x)，若F(a)在R上是单调函数，求m的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数。
　　解：（1）由已知得1+b+c=-2-1+2+d=-2。且ax2+bx+c=-x2+2x+d，即2x2+(b-2)x+c-d=0有唯一解。所以有△=(b-2)2-8(c-d)=0。解得b=－2，c=－1，d=－3。
　　（2）由F(x)=(x2-2x-1+m)(-2x+2)=-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2知，F(x)=-6x2+12x-2-2m。若F(x)在R上为单调函数。则F(x)在R上恒有F(x)≤0或F(x)≥0成立。因为F(x)的图像是开口向下的抛物线，所以F(x)≤0时F(x)在R上为减函数，所以△=122+24(-2-2m)≤0，解得m≥2。即m≥2时，F(x)在R上为减函数。
　　二次函数，其图像具有直观性，并且概念上具有丰富的内涵和外延。作为最基本的一类函数，如果把它的相关性质弄清楚，不仅可以建立起方程、函数、不等式之间的联系，而且可以演绎出层出不穷、灵活多变的数学问题，从而有利于训练学生的基础知识和综合数学素养。