引导学生经历数学化的全过程:如何引导学生感受数学的价值

　　【教学目标】　　1.认识生活中的搭配现象，理解搭配过程中的规律，并能运用搭配规律思考与解决一些实际问题。　　2.在经历找规律的过程中发展学生的探索、归纳、抽象、论证能力，逐步学会数学地思维的方式。
　　【教学过程与意图】
　　一、情景引入，调动学生生活经验
　　情景：同学们经常喜欢玩的“石头、剪刀、布”的游戏，我们一起来玩一玩，可以分三个层次进行：
　　1.同桌间自由游戏，体会两个人出不同的形状，形成一种组合，产生一种不同的输赢结果。
　　2.请两位同学上台表演，每进行一次，可记录一次，让学生体会到三种形状可以产生很多不同的组合。
　　3.由老师和一位同学进行示范，这时老师有意先反复出示石头，学生可自由选择；老师再次反复出示剪刀和布，让学生体会有序的组合。
　　【新课程标准在改革数学教学的过程中，有一个理念是贯穿始终的：那就是要加强数学与生活的联系，数学知识才会脱去僵硬的外衣而充满生机和活力；儿童构建教学概念、原理、法则、规律的过程要联系其生活经验和活动经验，这样他们才能自主地构建起属于自己的知识。所以在学习《找规律——搭配》一课时通过日常的游戏引入，能使教学有一个生活经验的起点，这是其一。另外在引入环节，设计了三个层次的游戏，第一层次是自由进行，这只是调动起学生的游戏常识和经验，起到了引入的作用；第二层次进行必要的记录，对游戏经验进行分析，使学生看到每一次两种形状的组合可以形成一种输赢，开始进入元素与整体的概念，这是学生在平时的游戏中不去深入思考的，也就是进入了对经验的改造与抽象，这是生活常识、生活经验上升到数学概念、原理、规律的必由之路；第三层次的游戏就更有数学味了，教师是反复出示石头，学生可以有各种不同的形状，这就有了“序列”观念的产生，这里开始实质地孕育组合中的“乘法原理”了。】
　　二、出示例题，引导学生自主探索
　　1.出示情景，明确要求和问题。要求：买一个木偶娃娃，再配上一顶帽子。问题：小明可以有多少种选配方法？
　　2.个人探索，经历过程。
　　（1）实际操作，让学生自由搭配。为每个学生准备一份学具，包括三个不同颜色的木偶娃娃和两顶不同形状的帽子。给学生充裕的时间，让学生在自由操作中体会不同的搭配，进而逐步生成有序搭配的思想。
　　（2）逐步抽象，让学生自由表达。引导学生在实际动手搭配的基础上，在草稿纸上用不同的方式表达出不同的选配方案，这里的不同方式可以画示意图，可以画符号图等。
　　【有了引入阶段三个层次游戏的铺垫，学生逐步开始有了“有序”搭配的思想。这里明确了目标和要求以后，让学生进行两个层次的操作活动：一个层次是为每个学生准备一份学具，让学生自由自在地随意组合，目的是让学生在不断试误中感受到“组合”与“序列”，不断在模糊与清晰之间来回反复，这种在活动中生成的经验与获得的感悟是学生自然产生的，对学生建立抽象的规律是非常重要的；第二个层次让学生在自我摸索、已有初步理解与领会的基础上，把思考的过程用图形或自己的方式表征出来，这个表征使学生的思考又向前进了一步，可以说“表征”是一种把内隐的思维外化的重要策略，也是数学抽象的必由之路。】
　　3.小组交流，互相分享。
　　这里的交流与分享，可以是实际操作的演示，也可以是图形表达的讨论，让学生有一个相互学习和碰撞的过程。
　　【如果说前面两个环节是在问题引导下的学生自主学习，那么这个环节就是另一种重要的学习方式——小组学习了。从本质上来分析我们教学过程中的“提问——答问”策略，有时看上去是一种启发式，把一个问题分析成一连串的小问题，一步步地线性前进，其实，其实质还是一种灌输式的教学，教师的提问与学生的回答只是看教师传授的知识点学生收到了没有。所以在教学中要真正确立学生的主体地位，转变学生的学习方式，先个人自主探索，自主活动，再小组讨论，过程中的补充、碰撞或分享是非常重要的，一方面发言者可以在表达时整理和清晰思考，并通过言说来内化已经感悟到的东西，另一方面听众可以把别人的想法作为一面镜子，来思考与修正自己的理解，能展开这样的学习，可以说是一种“深度学习”了。当然这里个人自主学习与小组学习的组织策略要经过必要的训练与磨合，有一个反复的过程，但一旦形成了这样的学习方式，学生就可以以此为工具进行探索性发现式的学习，而且在学习过程中还有利于其社会性素质的生成。】
　　4.组织个人和小组学习情况的交流。
　　（1）展示不同的搭配方式，讨论问题：怎样选配才能做到不重复不遗漏？
　　①先选木偶，就是为不同的木偶选不同的帽子，从木偶出发来配帽子，每个木偶都可以选两种帽子，这样共有6种方案。
　　②先选帽子，就是每种帽子都可以戴在不同的木偶上，从帽子出发来配木偶，每种帽子都可以配三个木偶，这样也有6种方案。
　　（2）展示不同的图形表达方式，讨论问题：怎样才能做到既明白又简单地展示？
　　【这个环节是建立在前两个环节的基础上的。这时的学习情况交流教师首先要明确问题，由学生进行汇报。这里的设计围绕一个主要的问题：怎样做到不重复不遗漏？学生自然会从两个不同的维度切入，当然这两个维度中，先选木偶的思路要容易些，而先选帽子对有些学生来说会有不习惯，这要求教师在学生汇报中适时地点拨，使学生的思维有一种多向的选择。最后再组织学生对这两种方式进行比较，通过异中求同与同中求异，使其思路更清晰。】
　　三、引导学生经历数学化的过程，发现搭配规律
　　1.以学生抽象出的图形表达方式为进一步数学化的资源，用连线的方式把搭配的情况抽象出来。
　　【学生通过图形表征获得了一些示意图，以此为基础，通过在示意图之间连线的方式把学生的思维过程更进一步外化，这一次的连线外化又向“乘法原理”的本质前进了一步。】
　　2.进行必要的变式：（1）如果是三顶不同的帽子，三个不同的娃娃呢？（2）如果是二顶不同的帽子，四个不同的娃娃呢？
　　3.对这三种情况进行归纳抽象。讨论问题：木偶的个数和帽子的顶数与有多少种选配方法间有什么关系？
　　4.对抽象出的规律进行必要的论证，为什么帽子的顶数与木偶的个数的乘积就是不同选配方案的数量？使学生把这个规律与乘法的意义联系起来，体会组合问题中的乘积原理的本质就是求“几个几”。
　　【通过必要的变式，让学生积累多个同类规律的案例，有了多个案例，就为不完全归纳推理提供了充足的资源；对这些平行性质的资料进行抽象就会获得猜想：帽子的数量乘以木偶的数量就等于搭配方案的数量。这个结论还不是定论，只是一种可能，对这个结论还必须进行证明。小学阶段的证明不可能像中学一样进行严格的“三段论”式的演绎推论，但可以通过思辨，把“算式”与“意义”挂起钩来，这里的本质意义就是求“几个几”，这样学生就能在整体上想通了，也可以说是获得了证明。有了这个过程，学生就会明白“为什么”会是这样，源流关系清晰了，学生就会越学越有劲，越学越聪明。】
　　四、组织不同情景中的变式练习
　　1.“想想做做”第1题。
　　讨论问题：（1）从学校到少年宫的路线由几部分组成？（2）从学校到街心花园有几条路可走？从街心花园到少年宫有几条路可走？
　　2.“想想做做”第2题。讨论问题：每种方案由哪几部分搭配而成？
　　3.适度扩展：三件不同的上衣、两条不同的裙子，两双不同的鞋子，这样可以有多少种不同的搭配方式？
　　讨论问题：（1）每种不同的穿法由哪几部分搭配而成？（2）你能做到不重复不遗漏地找到不同的搭配方法吗？
　　【变式练习是我国数学教学的传统，通过变换情景、增加环节、改编问题，使问题的表层情景更为复杂，但问题的深层结构是统一的，学生通过解答不同情景中的问题，深化对数学知识的理解，可以说：变式有利于迁移，迁移是通向理解的大道。这里练习设计不仅有不同情景的变化，还有层次的增加，看上去更为复杂了，但其本质还是一致的，这样的变式，有利于学生思维的纵向深入，也有利于数学结构的深度拓展。】
　　五、全课小结和质疑
　　本节课学习的主要收获是什么？关于组合搭配问题还有哪些疑问？
　　（作者单位：江苏省无锡师范附属小学）