零极点对系统性能的影响 零极点对系统的性能影响分析论文

摘 要 . ..................................................................... 1 1 设计任务 . ................................................................ 2 2 原开环传递函数G0（s ）的性能分析 ......................................... 2 3 增加零点后的开环传递函数G1（s ）的性能分析 ............................... 5 3.1绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 ......................................... 6 3.2 增加不同零点时的阶跃响应分析 ........................................... 7 3.3 增加零点对系统性能的影响分析 .......................................... 17 4 增加极点时对系统的影响分析 . ............................................. 18 4.1开环传递函数为G2（s ）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 ..................... 18 4.2增加不同极点时系统的伯德图 ............................................ 20 4.3增加极点对系统性能的影响分析 .......................................... 29 5 开环函数的零极点对系统性能的影响 . ....................................... 30 6 心得体会 . ............................................................... 31 参考文献 . ................................................................. 32

本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。首先从根轨迹、奈奎斯特曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。

关键词：零极点 开环传递函数 系统性能 MATLAB 谐振 带宽

零极点对系统性能的影响分析

1 设计任务

（1）当开环传递函数为G 1（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；

（2）当开环传递函数为G 1（s ）时，a 分别取0.01，0.1，1，10，100时，用Matlab 计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系； （3）画出(2)中各a 值的波特图；

（4）当开环传递函数为G 2（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；

（5）当开环传递函数为G 2（s ）时，p 分别取0.01，0.1，1，10，100时，绘制不同p 值时的波特图；

（6）对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响； （7）用Matlab 画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应；

2 原开环传递函数G0（s ）的性能分析

原开环传递函数的表达式：G 0(s)=（1）G 0（s ）的根轨迹

绘制根轨迹的MATLAB 命令： n=[1]; d=[1,1,1]; rlocus(n,d) 运行得到如下图1所示。

1s +s +1

2

图1 G0（s ）的根轨迹

由根轨迹分析系统稳态性能：根轨迹是在左半平面的两条对称直线，系统是稳定的。 （2）G 0（s ）的奈奎斯特曲线 绘制奈氏图的MATLAB 命令：

G=tf([1],conv([1],[1,1,1])); nyquist(G) 运行得到如下图2所示。

图2 G0（s ）的奈奎斯特曲线

由奈氏图分析系统的稳态性能：

系统有0个开环极点在S 右半平面，当w 从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，系统没有极点在S 右半平面在故系统是稳定的，与上面根轨迹的分析一致，只是分析方法不同。 （3）G 0（s ）的阶跃响应曲线 原二阶系统闭环传递函数：

φ(s ) =

1

2

s +s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1]

den=[1,1,2] step(num,den) grid on xlabel("t") ylabel("c(t)")

系统响应曲线如图3所示。

图3 G0（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.652，稳态值为0.5， 上升时间tr=1.47s

超调时间tp=2.35s 调节时间ts=7.78s, ∆ 超调量σp %=

0.652-0.5

0.5

=2

⨯100%=30.4%

（4）G 0（s ）的伯德图 绘制伯德图的MATLAB 命令：

G=tf([1],conv([1],[1,1,1])); bode(G)

运行得到如下图4所示。

图4 G0（s ）的伯德曲线

由伯德图分析系统的相对稳定性：

谐振峰值M r =1.23 ，谐振频率F r =0.688

3 增加零点后的开环传递函数G1（s ）的性能分析

为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a 值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。 增加零点S=-a后系统开环传递函数表达式：

G 1(s)=

(s/a+1) (s+s +1)

2

3.1绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线

取a=1,绘制根轨迹的MATLAB 命令： n=[1,1]; d=[1,1,1]; rlocus(n,d) 得到如下图5所示。

图5 a=1时G 1（s ）的根轨迹

由根轨迹分析系统稳态性能：根轨迹都在S 的左半平面，只是在原来的基础上多了一个零点，系统仍然是稳定的。

取a=1,绘制奈奎斯特曲线的MATLAB 命令：

G=tf([1,1],conv([1],[1,1,1])); nyquist(G)

得到如下图6所示。

图6 a=1时G 1（s ）的奈奎斯特曲线

由奈氏图分析系统的稳态性能：

系统有0个开环极点在S 右半平面，当w 从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，分析结果与原系统一致。

3.2 增加不同零点时的阶跃响应分析

（1）当a=0.01时，系统闭环传递函数为：

φ1(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[100,1]; den=[1,101,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)") 得到如下图7所示。

100s +1s +101s +2

2

图7 a=0,01时G 1（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

由图可知，曲线最大峰值为0.98，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.272s 超调时间tp=0.669s 调节时间ts=197s，∆ 超调量σp %

0. 98-0. 5

=2

=

0. 5

⨯100%=96%

绘制伯德图的MATLAB 命令： G=tf([100,1],[1,1,1])； bode(G) 得到如下图8所示。

图8 a=0.01时G 1（s ）的伯德图

由伯德图分析系统的相对稳定性：

谐振峰值M r =39.7，谐振频率F r =0.951 截止频率W c =100.0050

相位裕度r=90.5672度 ，幅值裕度Kg=无穷大（2）当a=0.1时，系统闭环传递函数：

φ(s ) =1

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[10,1]; den=[1,11,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)")

2

s +11s +2

系统响应曲线如图9。

图9 a=0.1时G 1（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

由响应曲线可得，最大峰值为0.889，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.0652s 超调时间tp=0.49s 调节时间ts=20.4s，∆

超调量σp %

=2

0. 889-0. 5

=

0. 5

⨯100%=77. 8%

绘制伯德图的MATLAB 命令：

G=tf([10,1],[1,1,1]); bode(G)

得到如下图10所示。

图10 a=0.1时G 1（s ）的伯德图

由曲线可得，

谐振峰值Mr=19.8 ,谐振频率F r =1.01 截止频率W c =10.0499

相位裕度r=95.1688度 ，幅值裕度Kg=无穷大（3）当a=1时，系统闭环传递函数：

φ1(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1,1]; den=[1,2,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)")

2

s +2s +2

系统响应曲线如图11。

图11 a=1时G 1（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

由响应曲线可得，最大峰值为0.604，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.598s 超调时间tp=1.59s 调节时间ts=3.46s，∆=0. 5

MATLAB 上键入命令：

G=tf([1,1],[1,1,1]); bode(G)

=2

超调量 σp %

0. 604-0. 5

⨯100%=20. 8%

系统伯德图如图12。

图12 a=1时G 1（s ）的伯德图

谐振峰值Mr=3.31 谐振频率F r =0.829 截止频率W c =1.4142

相位裕度r=109.4721度 ，幅值裕度Kg=无穷大 （4) 当a=10时系统闭环传递函数：

φ1(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[0.1,1]; den=[1,1.1,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)") 得到如下图13所示。

0.1s +1s +1.1s +2

2

图13 a=10时G 1（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.633，稳态值为0.5， 上升时间tr=1.02s 超调时间tp=2.31s 调节时间ts=5.85s，∆

超调量σp %

=2

0. 633-0. 5

=

0. 5

⨯100%=26. 6%

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([0.1,1],[1,1,1]); bode(G)

系统伯德图如图14.

图14 a=10时G 1（s ）的伯德图

谐振峰值M r =1.26 , 谐振频率F r =0.68 截止频率W c =1.0049

相位裕度r=95.1802度 ，幅值裕度Kg=无穷大(5)当a=100时系统闭环传递函数：

φ1(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[0.01,1];

den=[1,1.01,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)")

0.01s +1s +1.01s +2

2

系统响应曲线如图15。

图15 a=100时G 1（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.649，稳态值为0.5， 上升时间tr=1.01s 超调时间tp=2.31s 调节时间ts=7.7s，∆

超调量σp % =

0. 5

=2

0. 649-0. 5

⨯100%=29. 8%

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([0.01,1],[1,1,1]); bode(G)

得到如下图16所示。

图16 a=100时G 1（s ）的伯德图

谐振峰值Mr=1.26, 谐振频率Fr=0.646。 截止频率Wc=1.000，

相位裕度r=90.5676度，幅值裕度Kg 为无穷大。

3.3 增加零点对系统性能的影响分析

当在原开环传递函数上增加一个零点s=a，a 分别取0.01,0.1,1,10,100时，运用MATLAB 绘制各自阶跃响应曲线和伯德图，分别得到如下系统性能参数，如表1所示：

表1

由表1可得如下结论：

（1）当a 值增大时，谐振峰值Mr 不断减小，谐振频率Fr 不断减小，超调量σp %也相应减小。当a=0.01时，M r =40，σp %=96%，而原系统分别是1.23和30.4%，相差很大，即影响很大。随着a 的增大，M r 开始减小，σp %也减小，直到a 增大到10时，超调量反而增大，谐振峰值和谐振频率仍然减小；当a 增大到100时，σp %=29.8%，M r =1.26，接近于原二阶系统的值。

（2）当a=0.01时，系统的截止频率Wc=100.005，随着a 值的增加，截止频率不断减小，向原系统靠近。

由此可知，增加的零点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，增加的零点离虚轴越远，对系统的影响越小。因此，若增加的零点离虚轴很远，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

4 增加极点时对系统的影响分析

4.1开环传递函数为G2（s ）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线

开环传递函数G 2(s)=

2

1

[(s/p)+1](s

2

+s +1)

的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方

s

程为[(p ) +1](s +s +1) +1=0

，

恒等变换为

32(s +s p

+s )

s +s +2

2

+1=0

P

可以看出，如果绘制一个开环传递函数G (s ) =是原系统的根轨迹。

(s +s +s ) s +s +2

2

32

的系统根轨迹，实际上就

取p=1时，绘制G 2（s ）根轨迹的MATLAB 命令：

n=[1,1,1,0] ;

d=[1,1,2] ; rlocus(n,d) ; 键入Enter 键，可得图17。

图17 p=1时G 2（s ）的阶跃响应曲线

取p=1时，绘制奈奎斯特曲的MATLAB 命令： G=tf([1,1,1,0],[1,1,2])； nyquist(G)

运行得到如下图18所示。

图18 p=1时G 2（s ）的根轨迹

4.2增加不同极点时系统的伯德图

（1）P=0.01时，系统闭环传递函数为：

φ2(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1];

den=[100,101,101,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)

32

100s +101s +101s +2

得到如下图19所示。

图19 p=0.01时G 2（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是单调上升的，最大值为0.499，稳态值为0.5， 上升时间tr=109s 调节时间ts=195s , ∆超调量σp % =0

=2

绘制伯德图的MATLAB 命令：

G=tf([1],conv([100,1],[1,1,1])); bode(G)

得到如下图20所示。

图20 p=0.01时G 2（s ）的伯德图

带宽频率Wb=0.01，截止频率Wc=0，

相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=101.0104。 （2）p=0.1时，系统闭环传递函数：

φ2(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1];

den=[10,11,11,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)") 得到如下图21所示。

32

10s +11s +11s +2

图21 p=0.1时G 2（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 响应曲线是单调上升的，稳态值为0.499 上升时间tr=9.54s 调节时间ts=18.5s , ∆

超调量σp % =0

绘制伯德图的MATLAB 命令： G=tf([1],conv([10,1],[1,1,1])); bode(G)

得到如下图22所示。

=2

图22 p=0.1时G 2（s ）的伯德图

由曲线可得，

带宽频率Wb=0.102，截止频率Wc=0， 相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=1.0490。 (3)p=1时，系统闭环传递函数:

φ2(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]; den=[1,2,2,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)")

32

s +2s +2s +2

得到如下图23所示。

图23 p=1时G 2（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.7，稳态值为0.5， 上升时间tr=1.34s

超调时间tp=3.59s 调节时间ts=15.5s , ∆

超调量σp % =

0. 7-0. 50. 5

=2

⨯100%=40%

绘制伯德图的MATLAB 命令： G=tf([1],conv([1,1],[1,1,1])); bode(G)

得到如下图24所示。

图24 p=1时G 2（s ）的伯德图

由曲线可得,

带宽频率Wb=0.995，截止频率Wc=0.0087， 相位裕度r=-179.0009度，幅值裕度Kg=3.0000。 (4)p=10时，系统闭环传递函数:

φ2(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1];

den=[0.1,1.1,1.1,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)")

得到如下图25所示。

1

0.1s +1.1s +1.1s +2

3

2

图25 p=10时G 2（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.972s 超调时间tp=2.41s 调节时间ts=8.04s , ∆ 超调量σp % =

0. 673-0. 5

0. 5

=2

⨯100%=34. 6%

绘制伯德图的MATLAB 命令：

G=tf([1],conv([0.1,1],[1,1,1])); bode(G)

得到如下图26所示。

图26 p=10时G 2（s ）的伯德图

由曲线可得，

带宽频率W b =1.27， 截止频率W c =0.9947 相位裕度r=84.9272度 ，幅值裕度Kg=11.1000 （5）p=100时，系统闭环传递函数：

φ2(s ) =

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1];

den=[0.01,1.01,1.01,2]; step(num,den); grid on xlabel("t" ); ylabel("c(t)") 得到如下图27.

0.01s +1.01s +1.01s +2

3

2

图27 p=100时G 2（s ）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：

响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.999s

超调时间tp=2.36s 调节时间ts=7.77s , ∆

超调量σp % =

0. 654-0. 5

0. 5

=2

⨯100%=30. 8%

绘制伯德图的MATLAB 命令：

G=tf([1],conv([0.01,1],[1,1,1]))； bode(G) 得到如下图28.

图28 p=100时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

由曲线可得，

带宽频率W b =1.27， 截止频率W c =0.9999 相位裕度r=89.4331度 ，幅值裕度Kg=101.0293

4.3增加极点对系统性能的影响分析

当在原开环传递函数上增加一个零点s=p，p 分别取0.01,0.1,1,10,100时，运用MATLAB 绘制各自阶跃响应曲线和伯德图，分别得到如下系统性能参数，如表2所示：

表2

由表2可以得到如下结论：

（1）当p 增大时，系统的带宽频率Wb 不断增大，由p=0.01时，Wb=0.01增加到，p=100时，Wb=1.27。即当极点离虚轴很近(p=0.01)时，系统的带宽频率很小，与原系统相差很大，当极点远离虚轴（p=100）时，带宽频率与原系统相同。

（2）当p 取很小时，阶跃响应曲线呈单调上升，超调量为零，当p 值增大时，阶跃曲线呈震荡衰减，超调量先增大后减小，最后趋近于原二阶系统的值。所以当p 远大于阻尼系数时，可以忽略增加极点对原二阶系统的影响。

（3）增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率。

因此，增加的极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，增加的极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若附加的极点离虚轴很远，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

5 开环函数的零极点对系统性能的影响

增加开环函数的零点对系统的性能有影响，同时，所增加的零点的位置，即与虚轴的距离远近决定了对系统性能的影响程度。当零点离虚轴的距离增大时，谐振峰值Mr 不断减小，谐振频率Fr 不断减小，超调量也相应减小。同时，增加零点，系统的截止频率会增加，随着零点离虚轴的距离增大，截止频率不断向原系统靠近。因此，零点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的零点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

增加开环函数的极点对系统的性能也有影响。当极点离虚轴距离增加时，超调量先增大后减小；增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率；增加极点，系统的带宽频率降低，带宽减小，当极点远离虚轴时，带宽频率慢慢接近原系统的带宽频率，带宽接近原系统。因此，极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的极点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

由此可得，增加开环函数的零极点，会影响系统的性能，增加的零极点距离虚轴越近，影响越大，距离虚轴越远，影响越小，远到一定程度时，可以忽略对系统的影响。

6 心得体会

通过一个多星期的自动控制课程设计，我收获了很多宝贵知识和经验，相信这次的课设也会给我今后的深入学习带来很大影响，不断提高我对知识的渴望与自学能力。

首先，课设几乎所有题目要用到一款功能非常强大的软件，即Matlab 。在之前已经接触到了这款强大的软件，这是这次又要将之运用于自动控制中来，不仅感叹MATLAB 真的是非常实用，包括了高等数学、线性代数、复变函数、概率统计、运筹学以及微分差分方程等数学各个领域的知识点，拥有强大的数学功能！至今，Matlab 软件的应用已经渗透到社会各个领域，比如我们的电类专业，这次自动控制课设中涉及的根轨迹，阶跃响应曲线，奈奎斯特曲线，伯德图等知识都可以利用它来解决，其中我所选的题目，需要利用Matlab 编程，绘图，通过图形来分析系统的暂态性能和稳态性能。

其次，在真正解决问题的时候需要具备各种预备知识，在我这道题里面，首先清楚系统有哪些暂态性能指标，如上升时间，超调时间，调节时间，超调量，有哪些稳态性能指标，如稳定性，稳态误差终值；然后要清楚一些概念，阶跃响应曲线是通过系统的闭环传递函数绘制的，而根轨迹，奈氏图，伯德图都是通过开环传递函数绘制的，即通过开环特性研究闭环性能等等。这些知识都需要在平时上课的时候就掌握的概念，因此课设是对我们基本功的考察。

最后，课设最终目的是为了学习知识，利用知识，以达到我们熟练的目的。另外还考察了我们要到困难时的应对能力，是否懂得从结果中发现问题，分析问题并解决问题，相信这是一种很重要的能力，我们学习专业知识不能只停留于理论，重点在于实践，否则就会成为所谓的书呆子，而社会需要的是人才，拥有能力的人才。经过这次课设我感触良多，也希望以后会有更多这样的学习锻炼机会，不断提高自己发现问题，分析问题，解决问题的能力，以达到提升自己的目的，是自己所学知识真正有用武之地，发挥它的价值！

参考文献

[1] 胡寿松, 自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，2001

[2]王万良, 自动控制原理. 高等教育出版社，2008

[3] 何联毅，陈晓东. 自动控制原理同步辅导及习题全解. 北京：中国矿业大学出版社，2006

[4] 谢克明，自动控制原理. 北京：电子工业出版社，2004

[5] 冯巧林，自动控制原理. 北京：北京航空航天大学出版社，2007

[6] 刘叔军，MATLAB7.0控制系统应用与实例. 北京：机械工业出版社，2005