[微分中值定理在复数域内的推广]什么是微分中值定理

微分中值定理在复数域内的推广

1李晓玲

(临沂师范学院 数学系 山东 临沂 276005)

摘要: 应用解析函数的无穷可微性及积分估值定理和牛顿-莱布尼兹公式等证明了Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、L’Hospital法则在复数域内的相应推广定理，并说明了实函数与复变函数之间产生区别的根源.

关键词: 复变函数；区域；解析

中图分类号：O174 文献标识码：A

The extended of Mean value theorm of differentials and

L’Hospital rule in complex domain

LI Xiao-ling

(Depart.of Math.,Lin Yi Normal University, Linyi 276005)

Abstract: The mean value theorm of differentials and L’Hospital rule in complex domain are studied and prooved.

Key words: function of a complex variable; domain; holomorphic

0引言及主要结果

我们假设读者熟悉数学分析中微分中值定理、L’Hospital法则[1]以及复变函数的基本内容.数学分析中微分中值定理证明的理论基础是费马定理，在复数域中没有极值点的概念,当然费马定理也就不成立，因此不能直接证明几个微分中值定理成立，事实上Rolle中值定理在复数域内是不成立的， 但是Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、L’Hospital法则在复数域内有间接的推广,只是证明的理论基础不再是费马定理.作者证明了它们在复数域内的推广.文中提到的函数均指定义在复平面上的复变函数.

定理1 C为复平面上从a到b的直线段, D为包含C的区域, 若函数f(z)在D内解析, 则存在复数，||1,与C，使得

f(b)f(a)(ba)f"(). （1）

定理2 C为复平面上从a到b的直线段, D为包含C的区域, 函数f(z)和g(z)在D内解析,且满足条件f(a)f(b)，g(a)g(b).则存在复数,与 C，使得 收稿日期：

作者简介：李晓玲（1978-），女，山东安丘人，临沂师范学院数学系助教，理学硕士.Email:lixiaoling@lytu.edu.cn

f"()f(b)f(a). （2） g"()g(b)g(a)

定理3 若函数f(z)和g(z)满足如下条件：

（i）

（ii） zz0limf(z)limg(z)0； zz0在点z0处两者都解析,且g"(z0)0；

则 lizz0f(z)f"(z0). （3） g(z)g"(z0)

1 主要引理

引理1[2] 设函数f(z)在z平面上的区域D内解析,则f(z)在D内具有各阶导数,并且它们也在D内解析.

引理2 设函数f(z)在点集E上连续,则|f(z)|在E上也连续。

证明 设z0为E上任意一点，则f(z)在点z0连续，就是说0，0，只要|zz0|，就有|f(z)f()|，而||f(z)||f(z0)|||f(z)f(z0)|，即有0z

从而|f(z)|在点z0也连续，由z0的任意性即得|f(z)|在E上连续， ||f(z)||f(z0)||，

引理3[2] 设函数f(z)在有界闭集E上连续,则|f(z)|在E上有最大值与最小值.

设函数f(z)沿z平面上的曲线C连续,且有正数M使|f(z)|M,L为引理4[2],[3]

C之长,则 |f(z)dz|ML. C

引理5[2] 设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析,如果(z)为f(z)在D内的任意一个原函数,则

zz0f()d(z)(z0) (z、z0D).

2 定理的证明

我们先证明定理1. 因为f(z)在D内解析，由引理1得f"(z)在D内解析，从而连续，

C为D内有界闭集，C，再由引理2得|f"(z)|在D内连续，由引理3知，使得|f"()|

是|f"(z)|在C上的最大值，再由引理4得

|f"(z)dz||f"()||ba|. (4) C

f"(z) 在D内解析, C为D内从a到b的直线段,故f"(z)在D内包含C的单连通区域内解析,由引理5得

f(b)f(a)f"(z)dz (5) C

由(4)(5)两式得

|f(b)f(a)||f"()||ba| (6)

如果f"()0,则沿C,f"(z)0,由(5)得f(b)f(a)，（1）式成立.

如果f"()0,令 f(b)f(a) (ba)f"()

则（1）式成立,且由(6)式得 ||

综上即知,定理1得证. |f(b)f(a)|1. |ba||f"()|

)在定理2中只要注意到g(a)g(b),故C,使得g"(0,因此令

f"()g(b)g(a)即可. g"()f(b)f(a)

下面我们证明定理3. 因为f(z)和g(z)在点z0处都解析, 且limf(z)limg(z)0zz0zz0

故f(z0)g(z0)0且limzz0f(z)f(z0)g(z)g(z0)f"(z0),limg"(z0) zz0zz0zz0

f(z)f(z0)f(z)f(z0)limzz0zz0zz0f"(z0)f(z)lim则 lim； zz0g(z)zz0g"(z)000limzz0zz0zz0

定理3得证.

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析[M]. 北京:高等教育出版社,2001(2007重印)，119-132.

[2] 钟玉泉编.复变函数论[M]. 北京:高等教育出版社, 2004.1(2008重印)，101-123.

[3] 莫叶编.复变函数论[M]. 济南:山东科技出版社, 1980，271-272.

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