[[等差数列求和公式]详细教案]等差数列求和公式教案

等差数列求和公式

深圳市电子技术学校：黄静

课前系统部分：

大纲分析：

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n 项和公式的推导及其简单应用。

教材分析：

数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学生分析：

数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要

教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：

体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

教学重点与难点：

等差数列前n 项和公式是重点。

获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。

教学策略：

用游戏的方法调动学生的积极性

教学用具：

flash ，ppt

课堂系统部分：

整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

问题呈现1：

有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已

知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/

个。

问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一

袋金币是假的？

S = 10 + 9 + + 2 + 1

2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11⨯10=110110S ==552动画演示：

由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出

的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么

电子秤显示的数据应该是： (两) 55⨯2=

110

而实际显示的的数字是：102（两）

可见比全是真币时少了8两

又因为，每个假币比真币轻1两

所以，可知在电子秤上有8个假币

那么，第8袋全是假币。

设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。

动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式

承上启下，探讨高斯算法.

问题呈现2：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国

皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大

理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七

大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝

石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，

可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,

, 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让

, 将两个三角形拼成平行四边形.

(1+21) ⨯21s = 212

设计说明：

• 源于历史，富有人文气息.

• 图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础.

探究发现：

问题3：如 何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

由前面的例子，不难用逆序相加法推出

s n =a 1+a 2+a 3+ +a n s n =a n +a n -1+a n -2+ +a 1 n (a 1+a n ) ∴s n = 2

设计说明：

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“逆序相加”的数学方法推导公式。

探究发现：

a 1(m ) ，下底长为a n (m ) ，高为n (m ) ，求这个梯形的面积为多少平方米？

面积公式：

1n S =2

设计说明：

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。 n (a +a )

探究发现：

问题4 已知首相a 1, 相数n , 公差d

如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

复习回顾:等差数列通项公式:a n =a 1+(n -1)d

n (a 1+a n ) 公式1S n =2

n [a 1+a 1+(n -1)d ]n (a 1+a n ) S n == 22

n ⎡2na 1+n (n -1)d ⎣2a 1+(n -1)d ⎤⎦== 22

n (n -1) 公式2S n =na 1+d 2

根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式, 推出等差数列公式2

公式应用

• 根据题目选用公式

• 利用通项求中间量

• 依据条件变用公式

例题1：

2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？

本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

例题2：

2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？

本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。

事实上，根据提供的条件再与公式对比，

便不难知道应选公式。

例题3：

甲从A 地出发骑车去B 地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前

一分钟多骑5米，当他到达B 地时的那一分钟内骑了500米，问A 地和B 地之间的距离？

本例题欲求AB 间的距离，实质求甲共骑了多少米。已知首项400，公差为5和末项为500，可求出项数为21，然后引导学生使用公式1。

本题需要用到通项公式求项数，作为中间的桥梁。

例题4：

等差数列-10，-6，-2，2，„前多少项的和是54 ？

本例题已知公差为4，首相为－10，前n 项和为54，欲求项数n ，于是变用公式2。

n (n -1)4 54＝－10n +解得：n =-3或

n ＝9又因为项数不能为负数，所以－3舍去，一共有9项 2

练习：

游戏规则：将全班同学分为4组，显示出飞行

棋的棋盘画面，每一组用一种颜色的飞机代表，

四驾飞机停在起点，右下角有一个点击的标志，

持续点击控制骰子的点数。

让学生根据练习题抢答，抢到的同学回答，如

果答案正确，那么丢骰子的点数便是飞机前行

的方格数，相反，答案错误者，丢骰子的点数

便是飞机后退的方格数。

练习1：

一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，放了120层，这个V 形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，自下而上各层的铅笔成等差数列，且首相为1，项数为120，

公差为1，选用公式1可得结果。

答：V 形架上共放着7260支铅笔

练习2：

工地上放了一堆钢管，已知最下一层为20个，最上面一层为2个，且放了5层 ，问这一堆钢管的个数？

解：钢管由上至下为等差数列，已知首相为2，末项为20，项数为5，选

用公式1可得结果

答：工地上的钢管一共有55个

练习3：

舞蹈队对舞蹈员进行排队，已知第一个身高为1.58m, 后面每个舞蹈员比前面一个舞蹈员高0.2m ，且最后一个舞蹈员为1.72m ，问这些舞蹈员的总身高为多少？

解：舞蹈员由前至后成等差数列，已知首相为1.58，末项为1.72，公差为

0.2，可利用通项公式求出项数为8，选用公式1可得结果

答：这些舞蹈员的总身高为13.2m

练习4：

等差数列{an }的首项为a 1，公差为d ，项数为n ，第n 项为a n ，前n 项和为S n ，请填写下表：

课堂小结：

回顾从特殊到一般的研究方法；

体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想； 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

课后系统部分：

作业布置：

必做题：课本142页，练习A １、２；

选做题：课本142页，练习B,1

必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据我校的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的。