【1[1].8函数的连续性与间断点】 函数的连续性与间断点

课 时 授 课 计 划

课次序号： 07

一、课 题：§ 1.8 函数的连续性与间断点

二、课 型：新授课

三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；

2.会判定函数间断点的类型；

四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.

教学难点：间断点类型的判定.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学附册 学习辅导与习题选解》，同济大学数学系编，高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：标准化作业 八、授课记录：

授课日期 班 次 九、授课效果分析：

十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1.复习 （约5min）

极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则； 两个重要极限的应用；

无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶； 等价无穷小替换求极限的方法.

2.导入课题

在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特性，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生微小改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特性称为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.

3.教学内容

§1.8 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性 （约45min）

1. 增量 变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x记作x，

即x＝x1－x2.（增量可正可负）.

一般地，当自变量从x0变到x，称xxx0叫自变量x对于函数yf(x)，而yf(xx0)f(x0)叫函数y若保持x0不变而让x变动，一般来说，函数y的增量y也要变动，若当x趋于零时，

y也趋于零，即limy0，此时就称函数yf(x)在x0连.

x0

2. 函数在一点处连续

定义1 设函数y＝f(x)在U(x0)有定义，如果limy0，则称函数y＝f(x)在

x0

o

点x0处连续.

定义２ 设函数y＝f(x)在U(x0)有定义，如果limf(x)f(x0)，则称函数y＝

xx0

o

f(x)在点x0处连续.

注 ① 上述两个定义在本质上是一致的，即函数f(x)在点x0连续，必须同时满足下

列三个条件：（I）f(x)在点x0有定义，（II）limf(x)存在；（III）limf(x)f(x0).

xx0

xx0

② 函数f(x)在点x0处连续是limf(x)存在的充分非必要条件.

xx0

③ 函数f(x)在点x0处左连续、右连续的定义：

f(x)f(x0)，则函数y＝f(x)在点x0处左连续若lim

xx0

若limf(x)f(x0)，则函数y＝f(x)在点x0处右连续

xx0

例1 设函数f(x)

1,x0

，试问在x0处函数f(x)是否连续？ x1,0

x0

解 由于f(0)1，而limf(x)1，于是函数f(x)在点x0不是左连续的， 

从而函数f(x)在x0处不连续.

x23,x0

例2 设函数f(x)，问a为何值时，函数f(x)在点x0处连续？

ax,x0

解 因为f(0)3，且limf(x)lim(ax)a，limf(x)lim(x3)3， 

x0

x0

x0

x0

2

故由函数f(x)在点x0处连续知，a3.

3. 函数在区间上连续

定义3 如果函数y＝f(x)在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝f(x)在该区间上是连续的，或者说函数在该区间上是连续函数.

函数y＝f(x)在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 例3 证明函数y3x5x3在(,)内连续. 证 设x0(,)，由极限运算法则可知，

2

xx0

2

limf(x)lim(3x5x3)3x05x03f(x0)，

xx0

2

2

故y3x5x3在点x0处连续，

由x0的任意性可知，y3x5x3在(,)内连续.

2

二、函数的间断点 （约45min）

定义4 若函数y＝f(x)在x0处不连续，则x0为函数f(x)的一个间断点注 只要（I）（II）（III）三个条件有一个不满足，则x0为函数的间断点. 下面来观察下述几个函数的曲线在x1点的情况，给出间断点的分类.

x21

yyx1① ②

x1

在x1连续 在x1间断，x1极限为2 x1，x1x1，x1

yy③ ④

1，x1x，x1

在x1间断，x1极限为2. 在x1间断，

x1左极限为2，右极限为1.

在x0间断，x0极限不存在.

像②③④这样在x0点左、右极限都存在

的间断点，称为第一类间断点，其中极限存在的②③称作第一类间断点的可去间断点，此时只要令y(1)2，则函数在x1就变成连续的；④被称作第一类间断点中的跳跃间断点；

⑤⑥被称作第二类间断点，其中⑤也称作无穷间断点，而⑥称作震荡间断点.

就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限

f(x00)及右极限f(x00)都存在，那么x0称为函数f(x)间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 显然，无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.

练习 讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型.

x21sin2x

（2）f(x)2 （1）f(x)

x3x2x

答案：（1）x0 可去间断点 （2）x1 可去间断点，x2 第二类间断点

4.课堂总结 （约5 min）

（1）连续的定义：limf(x)f(x0)，三个条件缺一不可；

xx0

（2）间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）.

5.布置作业

标准化作业