广州市南沙区一模成绩 2016年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

2016年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）在﹣2，1，5，0这四个数中，最大的数是（ ）

A ．﹣2 B ．1 C ．5 D ．0

2．（3分）下列计算正确的是（ ）

A ．（a +b ）2=a2+b 2 B ．（ab ）2=ab2 C ．（a 3）2=a5 D ．a•a2=a3

3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

4．（3分）如图，已知A （1，3），将线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ）

A ． B．3 C ．

2 D．1

5．（3分）如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）

A ． B ． C ． D ．

6．（3分）如图所示，三角形纸片中，有一个角为60°，剪去这个角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）

A ．120° B ．180° C ．240° D．300°

7．（3分）已知点P （a ﹣1，a +2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A ． B

．

C ． D ．

8．（3分）如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）

A ．

= B ．

= C ．= D ．=

9．（3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠P 的度数是（ ）

A ．55° B ．30° C ．35° D ．40°

10．（3分）在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点D 的坐标为（0，4）．延长CB 交x 轴于点A 1，作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第三个正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（ ）

A ．20×（）4030 B ．20×（）4032 C ．20×（）2016 D ．20×（）2015

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．（3分）地球上的海洋面积约为361000000km 2，则科学记数法可表示为 km 2．

12．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAC=30°，则∠B=

13．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，tan ∠BCD=，AC=12，则BC= ．

14．（3分）如图，已知圆锥的底面半径OA=3cm，高SO=4cm，则该圆锥的侧面积为 cm 2．

15．（3分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，

当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b ﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m ，﹣2m ）放入其中，得到实数2，则m= ．

16．（3分）如图，点P （3a ，a ）是反比例函y=（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（9分）分解因式：2x 2﹣8．

18．（9分）如图，AC 是▱ABCD 的对角线，CE ⊥AD ，垂足为点E ．

（1）用尺规作图作AF ⊥BC ，垂足为F （保留作图痕迹）；

（2）求证：△ABF ≌△CDE ．

19．（10分）设A=

（1）求A 与B 的差； ，

B=

（2）若A 与B 的值相等，求x 的值．

20．（10分）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数；

（2）若OC=3，OA=6，求tan ∠DEB 的值．

21．（12分）某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级6个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1，其中三班的件数是8．

请你回答：

（1）本次活动共有 件作品参赛；

（2）经评比，四班和六班分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？为什么？

（3）小制作评比结束后，组委会评出了4件优秀作品A 、B 、C 、D ．现决定从这4件作品中随机选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品

B 、D 的概率．

22．（12分）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元．

（1）求每个足球和每个篮球的售价；

（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？

23．（12分）已知反比例函数y=

（1）求a 的值；

（2）如图，过点B 作直线AB 与函数y=的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，（a 为常数）的图象经过点B （﹣4，2）． 且AB=3BC，过点A 作直线AF ⊥AB ，交x 轴于点F ，求线段AF 的长．

24．（14分）已知，在△ABC 中，AB=AC．过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN，连接CN ．

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为 ；

②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c ，当∠BAC=∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C （0，3），A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）．点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．

2016年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2013•南宁）在﹣2，1，5，0这四个数中，最大的数是（ ）

A ．﹣2 B ．1 C ．5 D ．0

【考点】有理数大小比较．

【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0；③正数大于一切负数进行比较即可．

【解答】解：在﹣2，1，5，0这四个数中，

大小顺序为：﹣2＜0＜1＜5，

所以最大的数是5．

故选C ．

【点评】本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用熟练掌握有理数的大小比较法则，属于基础题．

2．（3分）（2013•深圳）下列计算正确的是（ ）

A ．（a +b ）2=a2+b 2 B ．（ab ）2=ab2 C ．（a 3）2=a5 D ．a•a2=a3

【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【专题】计算题．

【分析】A 、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；

B 、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

C 、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

D 、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A 、原式=a2+2ab +b 2，本选项错误；

B 、原式=a2b 2，本选项错误；

C 、原式=a6，本选项错误；

D 、原式=a3，本选项正确．

故选D ．

【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

3．（3分）（2016•哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．

【解答】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A 错误；

B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；

C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；

D 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D 正确．

故选：D ．

【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键．

4．（3分）（2016•南沙区一模）如图，已知A （1，3），将线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ）

A ． B．3 C ．

2 D．1

【考点】旋转的性质；坐标与图形性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用勾股定理计算出OA 的长，然后根据旋转的性质即可得到OA′的长度．

【解答】解：∵A 点坐标为（1，3），

∴

OA=

=，

∵线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后得到OA′，

∴

OA′=OA=

故选A ．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

5．（3分）（2016•南沙区一模）如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）

．

A ． B ． C ． D ．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解；从上面看得到的图形是A 表示的图形，

故选：A ．

【点评】本题考查了间的按组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

6．（3分）（2016•南沙区一模）如图所示，三角形纸片中，有一个角为60°，剪去这个角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）

A ．120° B ．180° C ．240° D．300°

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．

【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360°即可求得∠1+∠2的度数．

【解答】解：∵∠A=60°，

∴∠B +∠C=180°﹣50°=120°．

∵四边形的内角和等于360°，

∴∠1∠+2=360°﹣120°=240°．

故选C ．

【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．

7．（3分）（2010•深圳）已知点P （a ﹣1，a +2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A ． B

．

C ． D ．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．

【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得a 的取值范围，然后在数轴上分别表示出a 的取值范围．

【解答】解：∵点P （a ﹣1，a +2）在平面直角坐标系的第二象限内， 则有

解得﹣2＜a ＜1．

故选C ．

【点评】在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点，没有等于号的画空心圆圈．第二象限的点横坐标为＜0，纵坐标＞0．

8．（3分）（2016•南沙区一模）如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）

A ．

= B ．

= C ．= D ．=

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】首先证明△AED ∽△ACB ，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案．

【解答】解：∵∠A=∠A ，∠ADE=∠B ，

∴△AED ∽△ACB ， ∴．

故选：B ．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质．

9．（3分）（2016•重庆模拟）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠P 的度数是（ ）

A ．55° B ．30° C ．35° D ．40°

【考点】切线的性质．

【分析】首先在优弧AB 上取点D ，连接BD ，AD ，OB ，OA ，由圆的内接四边形的性质与圆周角定理，可求得∠AOB 的度数，然后由PA 、PB 是⊙O 的切线，求得∠OAP 与∠OBP 的度数，继而求得答案．

【解答】解：在优弧AB 上取点D ，连接BD ，AD ，OB ，OA ，

∵∠ACB=110°，

∴∠D=180°﹣∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠D=140°，

∵PA 、PB 是⊙O 的切线，

∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴∠P=360°﹣∠OAP ﹣∠AOB ﹣∠OBP=40°．

故选D ．

【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

10．（3分）（2016•南沙区一模）在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点D 的坐标为（0，4）．延长CB 交x 轴于点A 1，作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第三个正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（ ）

A ．20×（）4030 B ．20×（）4032 C ．20×（）2016 D ．20×（）2015

【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．

【专题】规律型．

【分析】先求出正方形ABCD 的边长和面积，再求出第一个正方形A 1B 1C 1C 的面积，得出规律，根据规律即可求出第2016个正方形的面积．

【解答】解：∵点A 的坐标为（2，0），点D 的坐标为（0，4），

∴OA=2，OD=4

∵∠AOD=90°，

∴AB=AD=，∠ODA +∠OAD=90°，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，S 正方形ABCD =

∴∠ABA 1=90°，∠OAD +∠BAA 1=90°，

∴∠ODA=∠BAA 1，

∴△ABA 1∽△DOA ， ∴∴BA 1

=

∴CA 1=，即， ，

=20×…，第n

个正方形的面积为， =20， ∴正方形A 1B 1C 1C 的面积=

，

∴第2016个正方形的面积

故选A ． ．

【点评】本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD 和正方形A 1B 1C 1C 的面积得出规律是解决问题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．（3分）（2011•佛山）地球上的海洋面积约为361000000km 2，则科学记数法可表示为 3.61×108 km 2．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．

故答案为3.61×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

12．（3分）（2016•南沙区一模）如图，在菱形ABCD 中，∠BAC=30°，则∠B= 度．

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质得AC 平分∠BAD ，AD ∥BC ，则∠BAC=∠DAC=30°，即∠BAD=60°，然后利用两直线平行，同旁内角互补求∠B 的度数．

【解答】解：连接AC ，

∵四边形ABCD 为菱形，

∴AC 平分∠BAD ，AD ∥BC ，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

∴∠BAD=60°，

∵AD ∥BC ，

∴∠ABC +∠BAD=180°，

∴∠ABC=120°．

故答案为120

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

13．（3分）（2016•南沙区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，tan ∠

BCD=，AC=12，则BC= 9 ．

【考点】解直角三角形．

【专题】计算题；解直角三角形及其应用．

【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD=∠A ，进而得到tan ∠BCD=tanA，利用锐角三角函数定义求出BC 的长即可．

【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，

∴∠ACD +∠BCD=90°，∠ACD +∠A=90°，

∴∠BCD=∠A ，

∴tan ∠BCD=tanA=，

在Rt △ABC 中，AC=12，

∴tanA=则BC=9，

故答案为：9

【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

14．（3分）（2016•南沙区一模）如图，已知圆锥的底面半径OA=3cm，高SO=4cm，则该圆锥的侧面积为 15π cm 2．

=，

【考点】圆锥的计算．

【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面半径OA=3cm，高SO=4cm，则勾股定理知，母线AS=5cm，底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．

故答案为：15π．

【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．

15．（3分）（2009•深圳）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b ﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m ，﹣2m ）放入其中，得到实数2，则m= 3或﹣1 ．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据题意，把实数对（m ，﹣2m ）代入a 2+b ﹣1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m 的值．

【解答】解：把实数对（m ，﹣2m ）代入a 2+b ﹣1=2中得m 2﹣2m ﹣1=2

移项得m 2﹣2m ﹣3=0

因式分解得（m ﹣3）（m +1）=0

解得m=3或﹣1．

故答案为：3或﹣1．

【点评】根据题意，把实数对（m ，﹣2m ）代入a 2+b ﹣1=2中，并进行因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．

16．（3分）（2016•南沙区一模）如图，点P （3a ，a ）是反比例函y=（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为

【考点】反比例函数图象的对称性．

【专题】计算题．

【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k 的值．

【解答】解：设圆的半径是r ，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

πr2=10π

解得：r=2．

∵点P （3a ，a ）是反比例函y=（k ＞0）与⊙O 的一个交点．

∴3a 2=k．

=r

∴a 2

=×（2）2=4．

∴k=3×4=12，

则反比例函数的解析式是：y=

故答案是：

y=． ．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

17．（9分）（2016•南沙区一模）分解因式：2x 2﹣8．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】因式分解．

【分析】先提取公因式﹣3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：2x 2﹣8=2（x 2﹣4）=2（x +2）（x ﹣2）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

18．（9分）（2016•南沙区一模）如图，AC 是▱ABCD 的对角线，CE ⊥AD ，垂足为点E ．

（1）用尺规作图作AF ⊥BC ，垂足为F （保留作图痕迹）；

（2）求证：△ABF ≌△CDE ．

【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质．

【分析】（1）利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线）作AF ⊥BC 于F ；

（2）先利用平行四边形的性质得到∠B=∠D ，AB=CD，然后根据“AAS”可判断△ABF ≌△CDE ．

【解答】（1）解：如图，AF 为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠B=∠D ，AB=CD，

∵AF ⊥BC ，CE ⊥AD ，

∴∠AFB=∠CED=90°，

在△ABF 和△CDE 中

∴△ABF ≌△CDE ．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判断与平行四边形的性质．

19．（10分）（2016•南沙区一模）设A=

（1）求A 与B 的差；

（2）若A 与B 的值相等，求x 的值．

【考点】解分式方程；分式的加减法． ，B=

【分析】（1）首先通分，然后利用同分母的分式的加减法则求解；

（2）根据A 和B 两个式子的值相等，即可列方程求解．

【解答】解：（1）A ﹣B=

=

=

=

（2）∵A=B ∴

去分母，得2（x +1）=x

去括号，得2x +2=x

移项、合并同类项，得x=﹣2

经检验x=2是原方程的解．

【点评】本题考查了分式的加减以及分式方程的解法，解分式方程时一定要注意检验．

20．（10分）（2016•南沙区一模）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数；

（2）若OC=3，OA=6，求tan ∠DEB 的值．

【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．

【分析】（1）连接OB ，根据垂径定理得出再由圆周角定理即可得出结论； =，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，

（2）根据OD ⊥AB ，OC=3，OA=6可得出∠OAC=30°，故∠AOC=60°，由此得出∠DEB 的度数，进而可得出结论．

【解答】解：（1）连接OB ，

∵OD ⊥AB ， ∴=，

∴∠BOD=∠AOD=52°，

∴∠DEB=∠BOD=26°；

（2）∵OD ⊥AB ，OC=3，OA=6，

∴

OC=OA ，即∠OAC=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠DEB=∠AOC=30°，

∴tan ∠DEB=．

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．

21．（12分）（2016•南沙区一模）某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级6个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1，其中三班的件数是8．

请你回答：

（1）本次活动共有 40 件作品参赛；

（2）经评比，四班和六班分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？为什么？

（3）小制作评比结束后，组委会评出了4件优秀作品A 、B 、C 、D ．现决定从这4件作品中随机选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品

B 、D 的概率．

【考点】列表法与树状图法；条形统计图．

【分析】（1）由题意得：本次活动共有参赛作品：8÷；

（2）由（1）可求得四班和六班的作品，然后求得获奖率，即可求得答案；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好展示作品B 、D 的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）根据题意得：8÷

答：本次活动共有40件作品参赛；

故答案为：40；

=40（件）；

（2）∵四班有作品：40

×

=2（件）， ∴四班的获奖率为：∵＜1，

∴六班的获奖率较高；

=12（件），六班有作品：40

×=，六班的获奖率为：1； （3）画树状图如下：

∵由树状图可知，所有等可能的结果为12种，其中刚好是（B ，D ）的有2种， ∴刚好展示作品B 、D 的概率为：P==．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（12分）（2016•南沙区一模）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元．

（1）求每个足球和每个篮球的售价；

（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设每个篮球x 元，每个足球y 元，根据：①1个足球费用+1个篮球费用=130元，②2个足球费用+3个篮球费用=340元，列方程组求解可得；

（2）设买m 个篮球，则购买（54﹣m ）个足球，根据：篮球总费用+足球的总费用≤4000，列不等式求解可得．

【解答】解：（1）设每个篮球x 元，每个足球y 元， 由题意得，

解得：， ， 答：每个篮球80元，每个足球50元；

（2）设买m 个篮球，则购买（54﹣m ）个足球，

由题意得，80m +50（54﹣m ）≤4000，

解得：m ≤

∵m 为整数，

∴m 最大取43，

答：最多可以买43个篮球．

【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，根据题意找到相等关系与不等关系是解方程组或不等式解题的关键．

23．（12分）（2016•南沙区一模）已知反比例函数y=

过点B （﹣4，2）．

（1）求a 的值；

（2）如图，过点B 作直线AB 与函数y=的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，（a 为常数）的图象经， 且AB=3BC，过点A 作直线AF ⊥AB ，交x 轴于点F ，求线段AF 的长．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）由反比例函数y=（a 为常数）的图象经过点B （﹣4，2），直接

利用待定系数法求解即可求得答案；

（2）首先分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，易得△BCD ∽△ACE ，即可求得A 的坐标，由△ACE ∽△FAE ，即可求得答案．

【解答】解：（1）∵图象过点B （﹣4，2），代入y=

∴2=， ，

解得：a=﹣12；

（2）∵a=﹣12， ∴反比例函数解析式为，

分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，

∵AB=3BC， ∴，BD=2，

∵AD ∥BE ，

∴△BCD ∽△ACE ， ∴

即， ，

∴AE=8．

∴把y=8代入

得x=﹣1．

∴A （﹣1，8），

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

把A （﹣1，8），B （﹣4，2）代入解析式得，

解得：， ， ，

∴直线AB 解析式为y=2x+10，

当y=0时，2x +10=0，

解得：x=﹣5，

∴C （﹣5，0）， ∴

∵AF ⊥AB ，AE ⊥CF ，

∴△ACE ∽△FAE ， ∴

∴=， ，

．

， 解得：AF=8

【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

24．（14分）（2012•本溪）已知，在△ABC 中，AB=AC．过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN，连接CN ．

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为 45° ；

②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c ，当∠BAC=∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）①证明四边形ABNC 是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解；

②根据等腰直角三角形的性质可得∠BNP=∠ACB ，然后证明△BNP 和△ACP 相似，

根据相似三角形对应边成比例可得

=，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP 和△CNP 相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC ，从而得解；

（2）根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP=∠ACB ，然后证明△BNP 和△ACP

相似，根据相似三角形对应边成比例可得

=，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP 和△CNP 相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC ，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

【解答】解：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，

∴AP ⊥BC ，BP=CP（等腰三角形三线合一），

∴AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

又∵∠MBN=90°，BM=BN，

∴AP=PN（等腰三角形三线合一），

∴AP=PN=BP=PC，且AN ⊥BC ，

∴四边形ABNC 是正方形，

∴∠ANC=45°；

②连接CN ，当θ≠45°时，①中的结论不发生变化．

理由如下：∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，

又∵∠BPN=∠APC ，

∴△BNP ∽△ACP ， ∴=，

又∵∠APB=∠CPN ，

∴△ABP ∽△CNP ，

∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°﹣∠BAC ．

理由如下：∵∠BAC=∠MBN ≠90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=（180°﹣∠BAC ），

又∵∠BPN=∠APC ，

∴△BNP ∽△ACP ， ∴=，

又∵∠APB=∠CPN ，

∴△ABP ∽△CNP ，

∴∠ANC=∠ABC ，

在△ABC 中，∠

ABC=（180°﹣∠BAC ）=90°﹣∠BAC ．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，（1）②与（2）中，先根据两角对应相等，两三角形相似求出两边比值相等，再根据两边对应成比例，夹角相等得到另两个相似三角形是解题的关键．

25．（14分）（2016•南沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C （0，3），A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）．点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P 点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；

（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P 点坐标．

【解答】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得

解得． ， 所以二次函数的表达式为y=﹣x 2+2x +3；

（2）如图，

，

存在点P ，使四边形POP′C为菱形．

设P 点坐标为（x ，﹣x 2+2x +3），

PP′交CO 于E

若四边形POPC 是菱形，则有PC=PO．

连接PP 则PE ⊥CO 于E ．

∴

OE=CE=，

∴

y=． ∴

解得x 1

=，x 2=（不合题意，舍去）

∴P 点的坐标为．

（3）如图1，

，

过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，﹣易得，直线BC 的解析式为y=﹣x +3．

则Q 点的坐标为（x ，﹣x +3）．

PQ=﹣x 2+3x ．

x 2+2x +3）

S 四边形ABPC =S△ABC +S △BPQ +S △CPQ =AB•OC

+QP•BF+QP•OF

=×4×3+（﹣x 2+3x ）×3

=﹣（x ﹣）2+

当， 时，四边形ABPC 的面积最大

，四边形ABPC 面积的最大值为． 此时P 点的坐标为

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用零星的性质得出P 点的纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．

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