求偏导数的方法 [求偏导数的一种方法]
第２６卷第５期２０１０年５月
赤峰学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２６Ｎｏ．５Ｍａｙ２０１０
求偏导数的一种方法
刘国祥
（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰０２４０００）
摘要：计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量大．在求一点的偏导数时，把部分变元的值先代入。再计算偏导数，可以减少运算量．
关键词：多元函数；偏导数；高阶偏导数；混合偏导数中图分类号：０１７２．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１０）０５－０００７－０２
较大．在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏导函数，再代入这一点的值而得到这一点的偏导数．我们发现，把部分变元的值先代入函数中，减少变元的数量，再计算偏导数，可以减少运算量．
１计算方法
ｆ（ｘ，１）＝ｘ２，鲁＝警＝誓＝２ｘ，鲁Ｉ渊×２－４０
ＸｎＸｄｘ
ｕｘ
ｌ
脚Ｍ，等＝ｏ，等旧
结果与通常的算法一样，但运算量大大减少了．这种运算方法是：
侧１设ｆ（ｘ’ｙ辟２＋㈣¨胁ｉｎ仃，求要卜和
Ｏｆ
掣＝普ｂ妄㈣Ｌ
骂严＝等｝“以）－妄‰，）ｌ＾
２计算方法的理论依据
（１）
ｃ２，
ａｙ
ｌ仁１’
一般的方法是，先求出偏导函数
上述算法能够减少运算量的作用是明显的，但可行性的理论依据是什么呢？这不难，从偏导数的定义就可以充分说明．以二元函数为例．
设有二元函数ｚ－－ｆ（ｘ，ｙ），若一元函数ｆ（ｘ’ｙｏ）在Ｘ－－＇ｇＯ处的导
挚州脚ｎ、／÷＋（ｘ－２）（ｙ－１）毒（一｝）
＿２ｘ咿ｌ蛐、／譬（ｘ－佴２）ｙ（ｙ－１）・
挚狮ｓｉｎ、／｝＋（ｘ－驸’毒÷
螂删ｎ、／｝＋：（ｘ佴－２）（ｙ－１）－
再代入偏导数在点（２，１）的值
数妄妣ｙ０）Ｉ。存在，则称它为ｚ嘶’ｙ）在‰ｙｏ）处对ｘ的偏导
数【ｌＬ
这个定义是以一元与多元函数的联系为主线进行的．先代入Ｙ＝Ｙｏ的值，成为一元函数再求导数．
设函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（）【ｏ，ｙｏ）的某一邻域内有定义，当Ｙ固定在Ｙｏ－而Ｘ在Ｘｏ处有增量△ｘ时，相应地函数有增量ｆ
私２～岬ｎ悟一萄宇４
（ｘｏ＋Ａｘ，ｙｏ）－ｆ（ｘｏ，ｙｏ），如果ｌｉｍ坐吐掣存在，则称此极限为
Ａｌ—４Ｕ
ｎ＾
甬数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（】‘０’ｙ０）处对ｘ的偏导数田．这个定义与上定义是等价的，其出发点是从极限人手，更突出地强调“Ｙ固定在ｙｏ”这两个定义都说明求对ｘ的偏导数，可以先把ｙ－－Ｙｏ代入．同理求对Ｙ的偏导数，可以先把ｘ＝ｘｏ代人．３在高阶偏导数中的应用
对于高阶偏导数，特别是混合高阶偏导数，由于变元多，求导阶数高，如果函数复杂。运算量会更大．应用上述方
一７一
孙群蛐悟＋弭（２－２）（１－１）＝ｏ
可以明显地看出第一式中的第二、第三项和第二式中的两项在点（２，１）的值都是０．
这种求偏导数的方法，过程的确很复杂．
万方数据
法，可以部分地减少运算量．
仍以二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）为例，在计算熹ｆｋ。，时，由于两
次对ｘ求偏导数，Ｙ－－－Ｙｏ开始就可以先代人．同理，在计算
时。由于两次对Ｙ求偏导数，ｘ确开始就可以先
Ｋ山）
代入・但对于混合偏导数毒ａｘ｝ａｙＯＸＯｙ
ｉ“．，．Ｊ，第一次对ｘ求偏导数
Ｉ—ｌ
。。’’
时，Ｙ＝Ｙｏ开始就不可以先代人，因为后边还要对Ｙ求偏导数．但第二次对Ｙ求偏导数时，Ｘ－－－－＇ＸＯ就可以先代入了．因为后边不再对ｙ求偏导数．计算公式是：
堂ａｘ出２＝矿ｄ２
ｆ（ｘ，ｙｏ）ｌ吼
％乒＝嘉‰ｙ）ｌ凡
掣＝专ｃ掣，Ｌ掣ａｙａｘ』ｄｘ（必Ｏｙ）ｌ＾
Ｉ。
当已经确定害｝和要在点（地ｙ０）处均连续的前提下
。
ｄｘＯｙＯｙＯｘ
（一定相等），可以选择求导数的次序，以减少运算量．
例２设旧舯哼，求粤ＯＸ－ｂ等ｂ和
Ｖ
¨２－上ｌ
ａＶ—Ｉｆ２上ｌ
疗ｆ
ＯｘＯｙｆ仁÷）‘
ｆ（ｘ｛）－ｅ’ｉｎ霄ｘ
百忆１２丁２亍２—意一
要Ｉ：堡丑：垫丑：止坐型
器ｂ＝妄ｈ嘶假慨气…ｋ
＝（ｅ’ｉｎ假—１他—ｌｃｏｓ假一１ｒｅ—ｌｃ惦订ｘ诫哼ｓｊｎ似）Ｉ面
：一２仳－２＝一２呈
ｅ－
肥，ｙ庙≮ｎ互
堕Ｏｙ
ｂ等：坐ｄ塑ｙ≈‰互Ｙ㈣
Ｉ岛）ａｙ
…。＼，ｒ２，：—２ｅ‘’上ｃｏｓ互
Ｖ
Ｖ
一８一
万方数据
等协砉（‰４ＩＣＯｓ泓｝
＝一舻（争咖手＋歹２ｓｉｎ剖，上
＝４。－：一：兰垂
ｅ－
彗：噌≮ｎ生＋ｅ，咖生．上＝ｅ—ｔｆ上ｃｏｓ量一ｓｉｎ量１
ｄｘ
ＹＹ
Ｙ
、ＹＹＹ／
嚣ｂ专忙’（手ｃ哼痂烈圳
２专（ｅ１（争。哼‘８ｉｎ争））｜ｅ｝）
＝ｅ－２（一丁１
ｃｏｓ－８ｉ号¨Ｌ上
＝阡争ｃｏｓ手＋扣手＋笋ｃｍ驯，｝
＝ｅ＿，面毛乓
ｅ。
如果换一种顺序，可以
鲁：ｅ‰争‘（一笋）
茜ｋ妄【兰尝ｋ妄ｃ确ｅ…圳。丽厂协）２ｉｉ—与产卫Ｊｋ言【－俄盹哪ｘ）ｋ
＝—呐ｅ。Ｉｃｏｓ订ｘ—ｘｅ。屯惦能一仃ｘｅ—ｌＢｉｎ能）Ｉ葩
＝ｅ－＇－，ｎａ＝要
ｅ。
熹ｈ、：熹｜，＾ｌ、≈知≮晕丽Ｉ（＇．｝）２瓦可Ｉ（。｝）≈呵’｝
例３设㈣吼毗求暑ＬＩ和等Ｌ．
由于ｆ（ｘ，ｙｏ）＝ｅ＝ｓｉｎｂｙ。，ｆ∽，ｙ）：ｅｑｓｉｎｂｙ，则
吾ｋ等掣ｆ。＝ａ屯ｑｓｉｎｂ如
等ｂ譬产ｆ。曲飞ｑｓｉｎ岍芋，
院出版社．２００６．
社．１９９６．
参考文献：
［１】范培华，李正元，李永乐．考研数学复习全书．国家行政学
［２）同济大学数学教研室．高等数学（下册）．高等教育出版
求偏导数的一种方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘国祥
赤峰学院,数学学院,内蒙古,赤峰,024000赤峰学院学报（自然科学版）JOURNAL OF CHIFENG UNIMERSITY2010，26(5)0次
参考文献(2条)
1. 范培华,李正元,李永乐.考研数学复习全书.国家行政学院出版社.2006.2. 同济大学数学教研室.高等数学(下册).高等教育出版社,1996.
相似文献(10条)
1.期刊论文 邵晓锋. 徐卫卫. 李龙星 求解多元函数偏导数过程中常见错误解析 -高等函授学报（自然科学版）2007,20(1)
多元函数的偏导数是多元函数微分学的重要内容之一,它的求法是学生必须掌握的一项基本技能.本文通过列举学生在求多元函数的偏导数过程中的一些常见错误并进行解析,希望对大家掌握偏导数的求法有所帮助.
2.期刊论文 刘孝书. LIU Xiao-shu 广义偏导数 -商丘师范学院学报2008,24(9)
在一元函数广义导数定义的基础上,提出了多元函数广叉偏导数的概念,相应地建立了广义偏导数的运算规则,获得了有关的一些性质.
3.期刊论文 李小斌. LI Xiao-bin 多元函数可微性的判定 -陕西工学院学报1999,15(2)
多元函数的可微性一般情况下是通过讨论偏导数的连续性来进行判断的,本文改进了这种方法,将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数连续性的讨论,从而使得多元函数可微性的判定变的较为简便.
4.期刊论文 王君. WANG Jun 一种使用矩阵乘积和二次型表示多元函数二阶偏导数的推广解法 -新疆师范大学学报（自然科学版）2008,27(1)
针对求多元函数二阶偏导数的解法,文章给出使用矩阵乘积和二次型表示偏导数的推广使用公式,避免了传统解法的繁琐计算过程.
5.期刊论文 刘青桂. 郝香芝. LIU Qing-gui. HAO Xiang-zhi 全微分形式不变性在多元函数求导中的作用 -石家庄职业技术学院学报2007,19(6)
对于多元复合函数的求导,经常使用"链锁法则",这个公式对一般的复合函数而言,是一个很有效的方法,但对于比较复杂的函数的偏导数,变量之间的关系不好区分,而利用多元函数的一阶全微分形式不变性来求,则无需知道变量之间的相互关系,只需知道谁是自变量就可以了,从而简化了计算.
6.期刊论文 邓敏 偏导数的关系式及应用 -中国科教创新导刊2007,""(23)
本文研究了多元函数与它的反函数的偏导数的关系,并得到了几个重要的恒等式.
7.期刊论文 杨丽. 高俊宇 关于多元函数可微的充分条件的再探讨 -中国校外教育（理论）2008,""(4)
大多数教材都是在较强的条件下讨论了多元函数的可微性的充分条件,这里给出了较弱条件下的多元函数可微的一个新定理的证明及其应用,应用此定理可以判断一些多元函数的可微性.
8.期刊论文 陈定元. 王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版）2005,11(2)
多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
9.期刊论文 朱慨铭. ZHU Kai-ming 多元函数可微性研究 -四川理工学院学报（自然科学版）2006,19(3)
从降低偏导连续的条件和利用高阶偏导来判别多元函数可微性,并把相应结果推广到n元函数中.
10.期刊论文 李忠艳. 陆忠臣. 陈浩 一类多元函数极值的快速判别方法及应用 -数学的实践与认识2003,33(7)
本文给出一类多元函数-三元函数是否存在极值的快速判别方法,并讨论它在实际问题中的应用.
本文链接：.cn/Periodical_cfxyxb201005004.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：86106948-c0a7-4e64-974c-9dce00f31fd0
下载时间：2010年8月10日