数控机床闭环进给伺服系统运动误差的研究_李宏胜:闭环进给伺服系统
2007年2月第35卷第2期
机床与液压
MACH I NE TOO L ＆HYDR AULI CS
*
F eb . 2007
V ol . 35N o . 2
数控机床闭环进给伺服系统运动误差的研究
李宏胜
(先进数控技术江苏省高校重点建设实验室(南京工程学院), 南京210013)
摘要:机床数控系统根据插补结果发出位置控制指令对各坐标轴进行独立的位置闭环控制, 驱动相应的机械传动机
构, 最终实现精确的轮廓进给运动。本文研究了各轴位置闭环控制特性对轮廓误差的影响, 分析了两坐标轴进给运动控制系统圆弧运动时因伺服系统有限带宽引起的半径误差和运动轴性能不匹配引起的椭圆误差, 并进行了仿真验证。
关键词:数控机床; 伺服系统; 运动误差
中图分类号:TP273 文献标识码:A 文章编号:1001-3881(2007) 2-069-4
Research on M otion Error of C losed -loop Feeding Servo Syste m for CNC M achine Tool
LI H ong sheng
(Jiangsu Key Labo ratory o fAdvanced Num erica lC ontrol Technology N anjing I nstitute
of Techno l o gy , Nan jing 210013, China )
Ab strac t :In CNC m achine t oo l , precise con t ouring feedi ng m ovementw it h trans m ission machi nery is carried out along interpolated position co mmand . Each axis tracking e rror i n t he syst em is con tro lled independentl y . The con t ouri ng mo tion error a ffected by distinguis -hing feat u re of each axis w as studied . Two e rrors , t he circu l a r arc radius erro r due to the finite band w idt h of t he servo s y ste m and t he el -liptic e rror due to perfor m ance m is m atch be t w een m o tion axes , we re ana l yzed . Conc l usi ons discuss ed w ere confir med by si m u l a tion .
K eyword s :CNC ; Servo s y st em ; M o ti on erro r
1 闭环位置控制的数学模型
典型X 轴位置闭环控制简化数学模型如图1所示
。
制开环传递函数为G k =K /[s (τs +1)], 其闭环传递函数为二阶模型:
2ωn
G (s ) (2) s +2ξωωn s +n 1, ω。n =2ττ
在数控系统中, X 、Y 轴通常具有同样的上述位置闭环控制数学模型, 因此由X 、Y 两轴独立位置闭环控制组成的系统如图2所示。其中:ξ图1 简化位置闭环控制数学模型
其中:K p 为控制器内部的软件位置增益, 可用
于调整系统位置环的开环增益; K da 为数模转换系数; K e 为位置编码器的脉冲数; K n 为速度反馈系数; K s 为速度调节器增益; K b 为反电势常数; R a 为电枢回路电阻; K q 为电机力矩常数; J 为转动惯量。
K m
速度闭环控制模型可简化为:W (s ) τs +1
其中:K m 为每伏电压对应的电机转速, K m =
K s
;
K b +K s K n
JR a
τ为时间常数, τ。
K q b s K n 位置闭环控制的开环增益, K =K p K da K m K e 。当不考虑速度闭环控制模型时间常数τ时, 位置控制开环传递函数为G k =K /s , 其闭环传递函数为如下一阶模型:
1
G (s ) (1)
Ts +1
其中:T =1K /。
当考虑速度闭环控制模型时间常数τ时, 位置控
图2 两轴闭环位置系统
其中X i (t )、X (t ) 分别是X 轴的输入输出,
Y i (t )、Y (t ) 分别是Y 轴的输入输出, 下面模型参数以下标x 或y 区分其为X 或Y 轴参数。
2 直线插补运动的轮廓误差
图1所示闭环系统的误差传递函数:
X o (s ) E (s ) 1
G e (s ) =1-(3)
X i X i 1+G k 直线插补时, 根据拉氏变换终值定理
1
e (∞)=li m s E (s ) =li m (4)
s →0s →0s [1+G k 当进行X 、Y 轴直线联动插补时, 对应X 、Y 轴的指令为斜坡输入, 即
X i (t ) =v x t Y i (t ) =v y t
由式(4), 对一阶模型和二阶模型, 其稳态误差均为
J
70
机床与液压第35卷
E x =v x K /x E y =v y K /y
设运动直线如图3所示, 与X 轴的夹角为θ, 合成进给速度为v , 则有运动轮廓误差为
v y v x v x v y v cos θ v sin θ
E =E y cos θ-E x sin θ--K y v K x v K y v v sin θ v cos θv si n (2θ) K x -K y
(5
)
K x v 2K x K y 由式(5) 可知:(1) 当K x =K y , 即两轴增益相等(即ξx /ωnx =ξω时, 两轴跟随误y /n y )
差的滞后效应抵消, 稳态轮廓误差为零, J x 、J y 的不匹配对稳态轮廓误差没有影响; 图3 直线运动的轮廓误差
(2) 当sin (2θ) =0, 即θ=0或90°时, 则E =0, 这具有明显的物理意义; (3) 实际系统中很难保证K x 、K y 完全相等, 可以看出, 只要K x 、K y 足够大, 轮廓误差就会很小, 因此尽可能选择较高的增益或使两轴增益尽可能一致均可减小轮廓误差;
(4) 轮廓误差与运动速度成正比。
将坐标系oxy 绕原点o 旋转角度θ到新坐标系o ′x ′y ′, 则有x =x ′c os θ-y ′sin θ
y =x ′sin θ+y ′cos θ
(12)
将式(12) 代入式(11) 得22
a 11′x ′+2a 12′x ′y ′+a 22′y ′+2a 13′x ′+2a 23′y ′+a 33′=0
(13)
其中:a 1′a 11cos θ+2a 12c os θsin θ+a 22si n θ1=
a 12′=(a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos θ-sin θ) a 22′=a 11si n θ-2a 12sin θcos θ+a 22cos θ a 13′=a 13cos θ+a 23sin θ
a 23′=-a 13si n θ+a 23cos θ a 33′=a 33
由式(13) 可以看出如下规律:
(1) 式(13) 方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及旋转角θ有关, 与一次项系数和常数无关。
(2) 式(13) 方程的一次项系数仅与原方程一次项系数及旋转角θ有关, 与二次项系数和常数无关。
(3) 当原方程一次项系数不为零时, 通过坐标轴旋转不能完全消除一次项系数; 同样当原方程一次项系数为零时, 坐标轴旋转后一次项仍为零。
(4) 坐标轴旋转后方程的常数项不变。
(5) 当a 12≠0时, 通过坐标轴旋转可消除交叉a 11-a 221
乘积项。即当θarcco 时,
22a 12
a 12′=(a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos θ-si n θ) =1
(a -a 11) si n2θ+a 12cos2θ=0222
(14)
2
2
2
22
2
2
2
3 圆弧插补运动的轮廓误差
圆弧插补运动的轮廓误差主要包括伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差和运动轴性能不匹配引起的椭圆误差。考虑沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动, 圆心坐标为(0, 0), x 、y 轴的指令输入及初始条件为
x i (t ) =R cos (ωt ) 且x i (0) =R , x i (0) =0; y i (t ) =R sin (ωt ) 且y i (0) =0, y i (0) =R ω。稳态输出为x (t ) =R x cos (ωt - R x [cos ωt cos t x ) =x +sin ωsin (6) x ]
y (t ) =R y sin (ωt - R y [sin ω cos t t y ) =y -cos ωsin (7) y ]
这里R x 、R y 为输出幅值, x 、 y 为滞后相位。由式(6)、式(7) 得
1
cos ωt [R y cos x (t ) -R x si n y x R x R y cos ( x - y y (t )](8)
1
sin ωt [R y si n x (t ) +R x c os y x
R x R y cos ( - ) x y
y (t )](9)
且输出轨迹为下列方程222222R y x +R x y -2R x R y si n ( R x R y x - y ) xy =2
cos ( (10) x - y )
对一般二次曲线方程有
2212+a 2y 2
a x +2a 23y 330(11对照式(10)、式(11), 当坐标系旋转角度
22R y -R x 1
θarccot (15)
2-2R x R y si n ( x - y ) 式(10) 变换为标准的椭圆方程。由此可见,
一般地说圆弧实际运动的轨迹为以原点为中心, 长轴或短轴在角度θ处的椭园。
3. 1 一阶模型圆弧运动误差分析
当图2中G x (s )、G y (s ) 为式(1) 所示一阶模型
时, 沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动, 其稳态输出为x (t ) y (t ) R 1+(ωT x R 1+(ωT y cos (ωt - ωT x x ) tan x =cos (ωt - ωT y y ) tan y =
(16) (17)
当T x =T y =T 时
=R x =R y x =y , 且R ′
R
第2期李宏胜:数控机床闭环进给伺服系统运动误差的研究
2
2
2
71
由式(10) 可知此时轨迹方程为x +y =R ′。
圆的半径误差为
22
11v T 2
ΔR =R -R ′=R [1-]≈R (ωT ) 22R 1+(ωT )
(18)
可见, 当两轴匹配时, 实际运动轨迹为圆, 其半径总是比指令圆弧半径值小, 半径误差随时间常数和进给速度的增大而增大。显然, 这是由伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差。
3. 2 二阶模型圆弧运动误差分析
当图2中G x (s ) 、G y (s ) 为式(2) 所示二阶模型
时, 沿半径为R 的圆弧进行角速度为ω的运动, 其稳态输出为
2R ωnx
x (t ) cos (ωt - x ) =(ω-ω) +(2ξωω) nx x nx
R x cos (ωt - x )
2ξx ωnx ω
其中:tan x 22。
ωnx -ωcos (ωt - y ) =(ω-ω) +(2ξωω) ny y n y
R y cos (ωt - y )
2ξy ωny ω
其中:tan y 22。
ω-ωn y
当ξξξ, ωωω x =y =nx =ny =n 时, 则 x =y 。由式(10) 可知其运动轨迹为圆, 其轨迹方程222
为x +y =R ′。
2R ωn
R ′=R x =R y =
-ωn n
R
(19)
224
+(2) -2) +)
n n n
可见, 当两轴匹配时
, 实际稳态运动轨迹为圆, 但显然圆的半径存在误差。
图4为两轴匹配且ω145r ad /s时, 对不同的ξn =值, R ′R 随运动角速度ω/的变化曲线。
y (t ) R ωny
2
1
M r 2ξ1-ξ
因此, 圆的轨迹误差是由于幅频特性不等于1引起的。因此当阻尼比较小时, 通常情况下圆的运动半径大于指令半径。
由于当ξ>0. 707时, 系统不产生谐振。显然, 此时圆的半径小于指令半径。通过调整系统增益使得ξ=0. 707, 从而在不产生谐振的条件下, 得到更宽的频带。
从式(19) 可以看出, 当ξ=0. 707时
R
R ′=R x =R y (20)
4
+)
ωn
当ω ωn 时, 由于4次幂的作用, 实际产生的误差较小。因此使两轴匹配, 且ξ=0. 707可取得较小的圆弧运动误差。
但在大多数的应用中, 很难保证两轴完全匹配。例如在立式数控铣床和加工中心中, x 轴的惯性负载通常远大于y 轴, 即J x ≠J y 。在此情况下, 通过调整位置增益满足两轴匹配条件需要同时满足
ωωξnx =n y , ξx =y K x J x
即(21)
K y J y K x J y
(22) K y J x
显然式(21) 与(22) 不可能同时成立, 而使两轴匹配条件完全满足。
由上可见, 虽然通过精心调整, 常规位置控制算法可以满足通常数控机床轮廓加工的需要。但随着现代机械加工对加工精度和加工效率要求的不断提高, 常规位置闭环控制算法已不相适应, 因此对新的控制算法进行研究就显得非常必要。
4 仿真研究4. 1 仿真数学模型
图5为数控机床所采用的典型双环(电流环、速度环) 速度伺服单元的传递函数数学模型。其中I n1为负载干扰力矩, In2为数控装置位置闭环控制电压, O ut1为转速输出。
图4 两轴匹配时R ′/R 随ω的变化曲线
当ξ≤0. 707时, 二阶系统的谐振频率ωr 和谐振
峰值M r 分别为
图5 典型双闭环速度伺服单元数学模型
取K x 、K y 为位置环软件增益, 16位DAC 的转换
系数为0. 0001526, K xe 、K ye 为位置传感器(8mm /r) , 。
72
机床与液压第35卷
4. 2 位置环开环增益对圆弧运动精度的影响
加工整圆(标准圆) 并检查其误差分布是数控机床精度综合检验最常用的方法。设顺时针加工半径为100mm 的整圆, 运动角频率为ω, X i =100sin (ωt ) , Y i =100c os (ωt ) 。
(1) 当K x =K y =62时, 随角频率ω的变化, 轮廓误差的变化如表1, 所对应的关系曲线如图6(b )。图6(a ) 为ω=0. 05H z 时轮廓误差Scope E rr or (t ) 的变化曲线。
表1 角频率ω与轮廓误差的关系
ω
/(1 s ) 0. 05轮廓误差
/μm
-1
(3) 当K x >K y
时, 正最大误差处在椭圆的长轴, 即大约在45°、225°位置上;
(4) 当K x
时, 正最大误差处在椭圆的长轴, 即大约
图8 轮廓误差最大值与最
在135°、315°位置上。
小值随K y 的变化曲线
可见, 上述仿真结
果与前述圆弧插补运动轮廓误差的分析是吻合的。
0. 10. 150. 20. 250. 30. 350. 5
-0. 7-2. -6. -1-17. -25. -34. -70. 5
图6 轮廓误差随角频率ω的变化曲线
(2) 当K x ≠K y , 且ω=0. 1H z 时, 轮廓运动误差Scope E rr o r (t ) 如图7; 各轴增益与轮廓误差的关系如表2; 图8为当K x =62时对于不同的K y , 轮廓误差最大值与最小值的变化曲线。
表2 K x
≠K y 时各轴增益与轮廓误差的关系K x K y
轮廓误差最大值/μm
625823
625916
626010
62613
6262
6263
62649
6265
15
626620
5 结论
目前数控机床进给运动大多采用各轴独立的跟随控制, 本文对此类常规跟随控制算法由于有限带宽和各轴特性不匹配所引起的轮廓误差特性进行了理论分析, 并讨论了其内在的规律。事实上, 还有许多因素均会对进给运动精度产生重要影响, 如导轨的非线性摩擦特性等。因此有必要进一步研究各种先进的控制与补偿算法, 以提高伺服运动轴的动态性能, 从而达到改善轮廓运动精度的目的。此外, 从本质上看, 跟随控制仍然是轮廓开环控制系统; 通过对轮廓误差的计算或估计, 向各轴提供附加轮廓误差补偿信息, 从而实现系统的轮廓闭环控制也是重要的研究方向。参考文献
【1】G ene F . F rank li n , J . Dav i d Powe ll . D igital Contro l of D y -nam ic Syste m s (Third Ed iti on ) [M ]. Copy righ t 1998by
Addison W e sl ey Longman , Inc .. 【2】K aan E rko rk m az , Y usuf A lti n t a s . H igh speed CNC syste m desi gn . Par t Ⅱ:m ode ling and identifica tion o f feed drive rs [J ]. Interna tiona l Journal o f M ach i ne t oo ls ＆M anufac -t u re , 2001, 41:1487-1509. 【3】K aan E rko rk m az , Y usuf A lti n t a s . H igh speed CNC syste m
desi gn . Par t Ⅲ:hi gh speed tracking and contou ri ng con -tro l of feed drivers [J ]. In t e rnati onal Journal o fM achine Too ls ＆M anufac t ure , 2001, 41:1637-1658. 【4】H -Ju N a , Chong -H o Cho i . Contour E rror Analysis and G ain
Tuni ng for CNC M achining Cent e r [J ]. AM C ’96-M IE :197-202. 【5】Y . K oren . Cross -coup l ed b iax ia l co m pu t e r for m anufac t uring
syste m s [J ]. AS M E J . D yna m ic Sy st , M ea s ure m ent , Contr ., 1980, 102(4):256-272. 【6】李宏胜. 数控机床轮廓插补运动精度的分析与研究[J ]. 机械制造, 2002, 40(10):10-12.
作者简介:李宏胜(1966—), 男, 江苏南京人, 东
-2. 3
轮廓误差最
---15-9-2. -9--20-25
小值/μm
图7 K x ≠K y 时轮廓误差的变化曲线
根据上述曲线分析, 可得出如下结论:
(1) 当K x =K y 时, 圆的半径误差为一恒定值, 且随着角频率的增加而增加;
(2) 当K x ≠K y 时, 圆的半径误差明显增加且呈, ;
南大学自动控制系博士研究生, 南京工程学院自动化系副教授, 主要研究方向:智能运动控制、数控技术、检测技术及自动化装置。曾主持国家“八五”、“九五”重点科技攻关项目两项, 主编论著3本, 发表论文18篇。电话:[1**********], E -m ail :hsli @263. net 。
收稿日期:2005-12-26