圆锥曲线的折法_圆锥曲线公式

　　问题1：已知圆 内有一点 ，求一动点 到圆心与定点 的距离之和为半径的轨迹方程。 　　分析：这个问题的本质为，平面内与两个定点的距离之和等于常数（这个常数大于两定点的距离）的点的轨迹是什么？
　　解：设圆心 坐标 ，则， 即
　　
　　整理得
　　 。
　　所以，点M的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆。
　　发现：上述椭圆的两个焦点恰是圆心和定点，于是，我们给出椭圆的一种折法。
　　方法：由一张圆形的纸开始，在圆的内部找一个不是圆心的点，在该点的位置上打上点号，折叠圆纸片，使圆的周界上有一点落在打点的地方。继续上述过程，绕着圆的全部周界折下去。最后，折痕的交点会构成一个椭圆的形状。
　　证明：由折纸法知， 、A两点关于折痕所在直线l对称，即l是线段 的中垂线。连结 交l于点M，则|MO|+|MA|=|MO|+| |=| |=R。即点M在以O、A为焦点，以R为长轴长的椭圆上。
　　问题2：已知圆 外有一点 ，求一动点 到圆心与定点 的距离之差的绝对值为半径的轨迹方程。
　　解：设圆心 坐标 ，则
　　 即
　　整理得。
　　所以，点M的轨迹是双曲线。
　　双曲线的折法：由一张圆形的纸开始，在圆的外部选择一个点并在该点的位置上打上点号，折叠圆纸片，使圆的周界上有一点落在打点的地方，继续上述过程，绕着圆的全部周界做下去。最后，折痕的交点会构成一个双曲线的形状。
　　证明：由折纸法知，
　　 、A两点关于折痕所在直线l对称，即l是线段 的中垂线。连结 并延长
　　交l于点M，则||MA|-|MO||=|| |-|MO||=| |=R。
　　即点M在以O、A为焦点，以R为实轴长的双曲线上。
　　问题3：已知直线ｌ:x=-2,其外有一点 ，求一动点 到定点 与到定直线ｌ的距离相等的轨迹方程。
　　解：过点M做直线ｌ的垂线，垂足为K，则
　　，即
　　整理得 。
　　所以，点M的轨迹是抛物线。
　　抛物线的折法：由一张距形纸的一边开始，在矩形的内部选择一个点并在该点的位置上打上点号，折叠矩形纸片，使距形纸的一边上有一点落在打点的地方，
　　继续上述过程，沿着矩形的这一边全部做下去。最后，折痕的交点会构成一个抛物线的形状。
　　证明：由折纸法知，F, A两点关于折痕所在直线 对称，即 是线段 FA的中垂线。过点A作m的垂线交 于点M，则|MA|=|MF|即点M在以F为焦点，以m为准线的抛物线上。
　　
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