广义积分中值定理 内容 微分中值定理与积分中值定理关系的探讨

　　【摘要】 文中探讨了微分中值定理的内部联系及其与积分中值定理的关系,并通过举例加以说明。　　【关键词】 微分中值定理 积分中值定理 关系　　【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0056-02
　　1 引言
　　微分中值定理与积分中值定理是微积分学的基本定理和理论基础,不论在理论的逻辑证明方面还是应用上都起着重要作用。初学者在学习过程中对二者的理解常常不够全面和深刻,会孤立的看待微分中值定理和积分中值定理。因此,本文将对二者的关系进行探讨,并通过实例说明其联系。
　　2 微分中值定理与积分中值定理
　　定理1:(罗尔定理)设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,且,则至少存在一点,使得。
　　定理2:(拉格朗日定理)设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,则至少存在一点,使得。
　　定理3:(柯西定理)设函数都在闭区间上连续,在开区间上可导,且对于任意,,则至少存在一点,使得。
　　定理4:(积分中值定理)若在上连续,则在内至少有一点,使得。
　　定理5:(积分第一中值定理)若都在上可积,在上不变号,则存在,使得分别表示在的下确界和上确界。
　　特别地,若在上连续,则存在,使得。
　　加强定理5的条件,可得:
　　定理6:若在上连续,且在上无零点,则在中至少存在一点,使得,在中至少存在一点,使得。
　　3 定理关系
　　3.1 微分中值定理间的关系
　　3.1.1 拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况
　　当定理3中的时,可得:,即为定理2之结论。
　　3.1.2 罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况
　　在定理2的条件中,若满足,则得到,即为定理1之结论。
　　3.2 微分中值定理与积分中值定理的关系
　　3.2.1 定理4可推出定理2
　　定理4条件中在上连续,则在上一定存在原函数,;故满足定理2条件:在闭区间上连续,在开区间上可导;由定理4结论:(1);与牛顿莱布尼茨公式:(2);得
　　即(3);(3)式即为定理2的结论。
　　3.2.2 加强定理2的条件可推出定理4
　　定理2中,若将条件加强为在闭区间上可导,且其一阶导数在上连续,则可得定理4结论。
　　由(2)式:与(3)式:
　　得 即(4)
　　(4)式即为定理4的结论。
　　3.2.3 定理6可推出定理3
　　定理6条件中,在上连续,则一定有连续原函数,设,且在上无零点,则,。故定理6的题设条件中一定满足定理3的条件。
　　由定理6可知在上存在使:
　　;
　　,故
　　即(5),也即(6)
　　设,则在上有一阶连续导数,,
　　将代入,得:
　　可知:。由定理4知,在中至少存在一点,使得
　　故,也即(7)
　　由(5)、(6)、(7)式可得,在中至少存在一点,使得
　　(8)
　　(8)式为定理3的结论。
　　6)加强定理3的条件可推出定理6
　　将定理3条件加强为在上连续可导,设,
　　,由定理3,在内至少存在一点,使
　　(9)
　　而,
　　即整理得(10)
　　同理可证,在内至少存在一点,使得
　　(11)
　　(10)、(11)式为定理6的结论。
　　4 实例说明微分中值定理与积分中值定理的关系
　　设在上连续,在内有一阶连续导数,证明:必有,使。
　　证明:1)首先用“微分中值定理”证明。令
　　(12)
　　由“柯西中值定理”:都在上连续,在上可导,且对于任意,,则至少存在一点,使得
　　即(13)
　　2)其次利用“积分中值定理”证明。
　　由(12)式得,根据题设条件知在上连续,故在上可积,
　　(14)
　　由“积分中值定理”可得:(15)
　　又(16)
　　所以由(15)式与(16)式可知:
　　,
　　即(17)
　　参考文献
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