第二章 平稳随机过程的谱分析 平稳随机过程
第二章 平稳随机过程的谱分析
本章要解决的问题：
●
随机信号是否也可以应用频域分析方法?
●
傅里叶变换能否应用于随机信号？ ● 相关函数与功率谱的关系 ● 功率谱的应用 ● 采样定理
● 白噪声的定义
2.1 随机过程的谱分析
2.1.1 预备知识
1、付氏变换:
对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：
满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为：
2、帕赛瓦等式
由上面式子可以得到：
——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数
X X (ω)
2
表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称
X X (ω)
2
为
能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度
一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？
随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数
x T (t):
图2.1 x (t)及其截取函数
当x(t)为有限值时，裁取函数
x T (t)满足绝对可积条件。因此，
x T (t)的傅里叶变换存在，有
很明显，式的变化）
x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达
用2T 除上式等号的两端，可以得到
等号两边取集合平均，可以得到:
令T
→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)
E [X X (T , ω) ]1T 1∞2
lim E [X (t )]dt =⎰-∞lim d ω⎰-T T →∞2T 2πT →∞2T
上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q 。再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q 。
2
E [X X (T , ω) ]又因为X X (T , ω) 非负，所以极限lim 必定
T →∞2T
2
2
存在，记为S X (
ω) ：
1T 1∞2
Q =lim E [X (t )]dt =S (ω) d ωX ⎰⎰T →∞2T -T 2π-∞
注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量
（2）S X (ω) 为确定性实函数。（见式）
● 两个结论： 1．Q
=A
1
式中，A =lim 表示时间平均。它说明，随机过
T
→∞2T
程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然， Q 不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则
Q =A =E [X 2(t )]＝R X (0)
这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。
由于已经对
X X (T , ω)
2
求了数学期望，所以S X (ω) 不再具有
随机性，它是ω的确定性函数。
● 功率谱密度：S X (ω) 描述了随机过程X(t)的功率
在各个不同频率上的分布——称S X (ω) 为随机过程X(t)的功率谱密度。
● 对S X (ω) 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得
到X(t)的功率。
● 对于平稳随机过程，则有：
1
E [X (t )]=
2π
2
⎰-∞S X (ω) d ω
∞
2.1.3、功率谱密度的性质
证明：
证明：
因为
X X (T , ω)
2
进行了取模运算，这是ω的实函数，所以
S X (ω) 也是ω的实函数，且为确定性实函数。
证明：
因此：
即：
得：
证明：对于平稳随机过程，有：
1
E [X (t )]=
2π
2
⎰-∞S X (ω) d ω
∞
2.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度
2.2.1、互谱密度
可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法
推广而来。
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为
x (t ) 和y (t ) ，定义两个截取函数x T (t )、y T (t )为：
因为x T 变换存在。
在时间范围(-T，T) 内，两个随机过程的互功率Q XY (T ) 为:（注意
(t )、y T (t )都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶
x T (t )、y T (t )为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）
由于x T
也适用，即:
(t )、y T (t )的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们
注意到上式中，x (t ) 和y (t ) 是任一样本函数，因此，具
有随机性，取数学期望，并令T
→∞，得：
T →∞
lim E [Q XY (T )]=Q XY
1T
=lim E [⎰-T x (t ) y (t ) dt ] T →∞2T
1T
＝lim [R XY (t , t ) dt ] ⎰-T T →∞2T
1 ＝
2π
E [X *(T , ω) X (T , ω)]d ω ⎰-∞T lim →∞2T
∞
定义互功率谱密度为：
得：
同理，有：
又知
以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。
2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。
定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度S XY (ω) 与互相关函数R XY (t , t
+τ) 之间的关系为
若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
即：
式中，A 表示时间平均。 显然：
证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳) 的实随机过程，它们的
互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。
2.3.3、互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率ω的正
的、实的和偶函数。
性质1：S XY (ω) =S YX (-ω) =S YX (ω) 证明：S XY (ω) = ＝ ＝
∞
-j ωτ
R (τ) e d τ ⎰-∞XY ∞
*
-j ωτR (-τ) e d τ 令τ=-τ ⎰-∞YX
*j ωτ
＝S R (τ) e d τYX (ω) ⎰-∞YX
∞
＝性
质
2
-j (-ω) τ
R (τ) e d τ＝S YX (-ω) ⎰-∞YX
∞
：
Re[S XY (ω)]=Re[S XY (-ω)
；
Re[S YX (ω)]=Re[S YX (-ω)
证明：式中Re[·]表示实部。亦即互谱密度的实部为ω的偶函
数。
S XY (ω) =⎰-∞R XY (τ) e
＝
∞
∞
-j ωτ
d τ
⎰-∞R XY (τ)[cosωτ+j sin(-ωτ)]d τ
∞
所以：
Re[S XY (ω)]
=⎰-∞R XY (τ)
cos ωτd τ
令
τ=-τ
＝
⎰-∞R XY (-τ) cos ωτd τ
∞
＝
Re[S XY (-ω)]
其它同理可证。 性质3：
证明：类似性质2证明。
性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有
证明：若X(t)与Y(t)正交，则R XY (t 1, t 2) = 所以，S XY (ω) =S YX (ω) =0
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值m X
和m Y , 则
R
YX (t 1, t 2) =0
证明：因为
X(t)与
Y(t)不相关，所以
E [X (t 1) Y (t 2)]=m X m Y
S XY (ω) =⎰-∞R XY (τ) e
∞
-j ωτ
d τ
＝m X m Y
⎰-∞e
∞
-j ωτ
d
τ
＝2πm X m Y δ(ω) （注意12πδ(ω) ） 性质6：
式中，A表示时间平均。
这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的关系式。
[例2.2]
设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关
函数R XY (τ) 为:
求互谱密度S XY (ω) , S YX (ω) 解：先求S XY (ω) ：
再求S YX (ω)
2.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：x(t) X (j ω) 。
随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。
1．定义：
若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与
功率谱密度构成一对付氏变换，即：
这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。
2. 证明：
下面就来推导这一关系式。证明方法类似式的证明。
因为：由(3.1.14)式
E [X X (T , ω) ]
S X (ω) =lim
T →∞2T
2
＝
1=lim E [X X (T , ω) X *X (T , ω)] T →∞2T
T T 1j ωt 1
lim E [⎰-T X (t 1) e dt 1⎰-T X (t 2) e -j ωt 2dt 2] T →∞2T
交换积分和数学期望顺序
1T T -j ω(t 2-t 1)
＝lim E [X (t 1) X (t 2)]e dt 1dt 2 ⎰⎰-T -T T →∞2T
1T T -j ω(t 2-t 1) ＝lim R (t -t ) e dt dt X 2112⎰⎰T →∞2T -T -T
设τ
=t 2-t 1，u =t 2+t 1，则t 2=
τ+u
u -τ
，t 1= 22
1
∂(t 1, t 2)
所以：J ==2
∂(τ, u ) -1
21
2=1 122
τ
τ
+τ
图2.2
2T -τ112T
则S X (ω) =lim {⎰0d τ⎰-2T +τR X (τ) e -j ωτdu
T →∞2T 2
1-j ωτ
+⎰ d τR (τ) e du }X ⎰-2T -2T -τ2
2T -112T -j ωτ
＝lim {d τR (τ) e du } X ⎰⎰-2T -2T +T →∞2T 2
2T +τ
12T -j ωτ ＝lim (2T -) R (τ) e d τ X ⎰-2T T →∞2T
＝
T →∞∞
lim ⎰-2T (1-
2T
2T
) R X (τ) e -j ωτd τ （1）
2T
＝
⎰-∞R X (τ) e
-j ωτ
d τ－lim ⎰
2T
T →∞-2T
) R X (τ) e -j ωτd τ
(注意T →∞,
2T
→0；且τ→∞时，R X (τ) →0 。
因此，通常情况下，第二项为0
＝证毕。
-j ωτ
R (τ) e d τ ⎰-∞X ∞
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
则
平
均
功
率
为
：
1T 1∞2
（τ＝0）——时lim E [X (t )]dt =S (ω
) d ωX ⎰⎰T →∞2T -T 2
π-∞
间平均加统计平均。
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数R X (τ) 是实偶函数，
功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。
（常见的几种付氏变换关系需要记住）
[例3.3] 平稳随机过程的自相关函数为R X (τ) =
-βAe
，A>0,
β>0，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋
τ
和－
τ
分成两部分进行。
解：注意此时
⎰－∞R X (τ) τ不是有限值，即不可积，因此
∞
∞
R X (τ) 的付氏变换不存在，需要引入δ函数。
2A
S X (ω) =⎰-∞R X (τ) e -i ωτd τ=⎰-∞cos(ω0τ) e -i ωτd τ
2
∞
A ＝
2
2
⎰-∞
∞
e
j ω0τ
+e 2
-j ω0τ
e -j ωτd τ
e j ω0τ+e -j ω0τ
（注意：cos(ω0τ) =
2A 2
＝
4
＝
∞
）
j ω0τ-j ω0τ-j ωτ（e +e ）e d τ ⎰-∞
πA 2
2
[
δ
(ω-ω0) +δ(ω+
ω0
)]
j ω0τ
（注意：e
2πδ(ω-ω0) ）
显然，它与时间t 有关，所以Y(t)为非平稳随机过程，
（一定要注意一般随机过程与平稳随机过程的平均功率和谱
密度的求法区别）
2.4 离散时间随机过程的功率谱密度
2.4.1、离散时间随机过程的功率谱密度
1．平稳离散时间随机过程的相关函数
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序
列，具有零均值，其自相关函数为:
简写为：
2．平稳离散时间随机过程的功率谱密度
式中，T 是随机序列相邻各值的时间间隔。S X (ω) 是频率为ω
2π记为
的周期性连续函数，其周期为=2ωq 。S X (ω) 的傅里叶级数的
T
系数恰为R X (m ) ，这里
就是奈奎斯特频率（不是采样频率）。这说明离散序列的功率
谱为周期函数。
因为S X (ω) 为周期函数，周期为2ωq ，
3. 谱分解 ① z 变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率
谱密度定义为R X (m ) 的z 变换，并记为S "X
(z )，即
式中z=e
j ωT
，且
上式中，D 为在S "X 一条闭合围线。
② 性质
(z )的收敛域内环绕z 平面原点反时针旋转的
因为自相关函数R X (m ) =R X (-m ) ，带入式即可。
③ 谱分解
谱分解定理：设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率
谱密度函数S "X
(z )。则S "X (z )可分解为：
单位圆之内的全部零点和极点；
B(z 零点和极点。
证明：总可以将S "X
-1
) 中包含了单位圆之外的全部
(z )表示成两个多项式之比：
上式中：
由于R X (m ) 是实函数，因此多项式N(z)、D(z)的系数也都是实数、且有M ＜N 。
对式(3.4.9)因式分解，形式如下：
设a 1是N(z)的一个根，是S "X
(z )的一个零点，那么，a 1应满足
而根据性质[见式(3.4.8)]可知，若上式成立，则下式必成立：
这就是说，a 1
-1
也一定是N(z)的一个根；或者说a 1
-1
-1
是S "
X
(z )的
一个零点。于是，两个零点a 1和a 1
同理，若β1是S x
"
总是同时出现。
-1
(
z )的一个极点，则β1
也必定是
S "X (z )的一个极点。或者说，两个极点必定同时出现。
根据上面的讨论，便可将式(3.4.11)分解成两项相乘，即
单位圆之内的全部零点和极点；B(z 的全部零点和极点。--------即证。
解：应用式(3.4.5)，可以得到
-1
) 中包含了单位圆之外
整理得:
将z=e
j ωT
代人上式，即可求得
2.4.2、平稳随机过程采样定理
1．预备知识
在分析确定性的离散时间信号时，香农采样定理占有重要地位。它建立了连续信号与其采样离散信号之间的变换关系。
设s(t)是一个确定性连续限谱实信号，它的频带范围限于
(-ωc
，+ωc ) 之间。香农采样定理告诉我们，当采样周期小于或等于1/2f c (ωc =2πf c 时) ，可将s(t)展开成:
因此，采样频率为：
11
f s =≥
T 2f c
原信号的恢复：满足采样定理的采样值通过一个低通滤波器
（冲激响应为S a 函数），就可以无失真的恢复原信号。
2．平稳随机过程的采样定理 现在将香农采样定理推广到随机信号。
定义：若X(t)为平稳随机过程，具有零均值，它的功率语密度
S
X (ω) 限于(-ωc ,+ωc ) 之间：（即假设连续过程的功率谱有界）
则可证明，当满足条件T 小于或等于1/2f c 时，便可将X(t) 按它的振幅样本展开为：
这就是平稳随机过程的采样定理。
式中，T 为采样周期X(nT)表示在时间t=nT时，对随机过程X(t)的任一样本函数X (t ) 的振幅采样， l.i.m 则表示均方意义下的极限。例如
证明：因为 X(t)的自相关函数及R X (τ) 是τ的确定性因数， 由维纳—辛钦定理，R X (τ) 又因为S X (ω) 带宽有限，
由预备知识的香农采样定理，R X (τ) 的振幅可以展开成：
S X (ω) ，
由付氏变换时移性质，可得：
这里
a 为任一常数。显然。S X (ω) e 的。
再由香农采样定理，将R X (τ
-j ωa
带宽也是有限
-a ) 展开:
令τ－a =τ"，再令τ"=τ，则上式可变为：
现在令：
若
采样定理就得到了证明。 下面分别证明上式的两项均为0。
①
ˆ(t )]X (t )} E {lim [X (t ) -X
N →∞
＝
sin(ωc t -n π)
R X (0) -lim ∑E [X (nT ) X (t )]
N →∞n =-N ωc t -n π
（4） 令τ
N
=0, a=t，得：
∞
sin(ωt -n π)
(5) R X (0) =∑R X (nT -t )
ωc t -n πn =-∞
比较（4）（5）式得：
ˆ(t )]X (t )}＝0 （6） E {lim [X (t ) -X
N →∞
②令τ=t , a=mT，得：
∞
sin(ωc t -n π)
R X (t -mT ) =∑R X (nT -mT ) （7）
ωc t -n πn =-∞
又：
（8）
（7）（8）式比较，上式等号右端为零。于是可得：
由① ②可见：
证毕。
为了书写方便，也常把采样定理写成：
但应注意，上式的近似是表示均方意义下的极限，它与一般意义下的近似是不同的。
2.4.3、功率谱密度的采样定理
由平稳随机过程的采样定理，可以通过对平稳随机过程X(t)的采样而得到与之相对应的离散时间随机过程X(n)。
现在讨论X(n)的自相关函数(或称自相关序列) 与X(t)的自相关函数、X(n)功率谱密度和X(t)功率谱密度之间的关系。
定义：设X(t)为广义平稳随机过程，用
R C (
τ) 和S C (ω) 分别表示它的自相关函数和功率谱密度，且S C (ω) 的带宽有限（这里下标C 表示连续）。现在，应用采样定理对X(t)采样，构成采样离散时间随机过程X(n)＝X(nT)，其中T 为采样周期。R (τ) 和S (ω) 分别表示X(n)的自相关函数和功率谱密度，则
式中ωq ＝π周期函数）
结论：
（1） 离散时间随机过程的自相关函数R(m)正是
对连续过程自相关函数R C (τ) 的采样。
―即功率谱密度的采样定理。（随机序列功率谱为
S (ω) 等于S C (ω) 及S C (ω) 的所有各位
移之和，即S C (ω) 以2ωq 为周期延拓，所以S (ω) 为周期
（2）
函数。
S (ω) 与S C (ω) 关系如下图示意：
图2.3 X (t ) 、S C (w ) 与X (n ) 、S (w ) 的对应关系 证明：
预备知识：
若确定性函数f(t)为周期函数，周期为T ，即f(t)=f(t+mT)，m 为任意整数，则它总可以展开为傅立叶级数：（《信号与线性系统分析》吴大正主编，P129）
∞
⎧jn Ωt
f (t ) =F e ∑n ⎪⎪n =-∞
指数形式表示：⎨ T
1
⎪F n =⎰2T f (t ) e -jn Ωt dt
T -2⎪⎩
2π n =0, ±1, ±2,.... , Ω=T
注意S C (ω) 是确定性函数。
因为
n =-∞
∑S C (ω+2n ωq ) 是周期为2ωq 的连续函数，则傅里叶
∞
级数展开式为：
n =-∞
∑S C (ω+2n ωq ) =
1
ωq
∞
n =-∞
-jn ωT
a e ∑n
∞
(这里与通常的傅
立叶级数不同) 其中：a n
=
2ωq -ωq
jn ωT
S (ω) e d ω ⎰C
=
1
∞
2ωq -∞
⎰S C (ω) e
jn ωT
2π
R C (nT ) =TR (n ) d ω=
2ωq
带入上式得：
1-jn ωT
＝S (ω) （离散时S (ω+2n ω) =R (n ) e ∑∑C q
T n =-∞n =-∞
间功率谱密度的定义） 定理证毕。
n =-∞
∞
∑S C (ω+2n ωq ) =
∞
n =-∞
∞
-jn ωT
TR (n ) e ∑
∞
2.5 白噪声
随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来
分类。就概率密度而言，正态分布(或称为高斯分布) 的随机过程占有重要地位；就功率谱密度来说，则具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要。
2.5.1、理想白噪声
定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密
度均匀分布在(-∞，+∞) 的整个频率区间，即
其中N 0为一正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称为白噪
声。
自相关函数为
理解：白噪声的自相关函数是一个σ函数，其面积等于功率谱
密度。
理解：白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多么邻近) 的取值都是不相关的。这就意味着白噪声过程随时间的起伏极快，过程的功率谱极宽。
总结：
（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。 （2
2
）白噪声的均方值为无限大，
N 0E [X (t )]=R N (0) =δ(0) =∞，而物理上存在的随机过程，
2
其均方值总是有限的。
（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。
2.5.2、限带白噪声
限带白噪声又可分为低通型的和带通型的。
1．低通型
定义：若过程的功率谱密度满足
则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通
滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。
低通型限带白噪声的自相关函数为
图2.4示出了低通型限带白噪声的S X (ω) 和R X (τ) 的图形，注意，时间间隔为π
整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值
为0，相关函数值为0）。
图2.4 低通限带白噪声 （a ）S X (ω) ; （b ）R X (τ)
2. 带通型
带通型限带白噪声的功率谱密度为
由维纳—辛钦定理，得到相应的自相关函数为
图2.5中示出了带通型限带白噪声的S X (ω) 和R X (τ) 的图形。不难看出，将白噪声通过一个理想带通滤波器便可产生这种带通型限带白噪声。
图2.4 带通型限带白噪声 （a ）S X (ω) ; （b ）R X (τ)
2.5.3、色噪声
按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以
外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。
小 结
1． 随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过
程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：
X (t ) X (j ω)
但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即
A
若随机过程X(t)平稳，则
R X (τ) S X (ω)
2． 平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求
1
积分（有个系数）；求相关函数后令τ＝0
2π
3． 随机过程的平均功率：
1∞2
一般过程：lim ，即集合平均＋E (X (t )) dt ⎰T →∞2T -∞
统计平均。
4． 特定函数的付氏变换需记忆