随机过程作业题及参考答案(第一章)_随机过程论钱敏平答案
第一章 随机过程基本概念
P39
1. 设随机过程X 变量。试求X 解：
(t )=X cos ω0t ，-∞
(t )的一维概率分布。
π
2
，即t =
1 当cos ω0t =0，ω0t =k π+
1⎛1⎫
k +⎪π（k ∈z ）时， ω0⎝2⎭
X (t )≡0，则P {X (t )=0}=1. 2 当cos ω0t ≠0，ω0t ≠k π+
π
2
，即t ≠
1⎛1⎫
k +⎪π（k ∈z ）时， ω0 ⎝2⎭
X ~N (0，1)，∴E (X )=0，D (X )=1. E ⎡⎣X (t )⎤⎦=E [X cos ω0t ]=E (X )cos ω0t =0.
22
D ⎡⎣X (t )⎤⎦=D [X cos ω0t ]=D (X )cos ω0t =cos ω0t .
∴X (t )~N (0，cos 2ω0t ).
则
f (
x ；t )-
x 22cos ω0t
.
2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为
⎧cos πt ，出现正面X (t )=⎨
⎩2t ，出现反面
假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为
1⎛1⎫。试确定X (t )的一维分布函数F x ⎪2⎝2⎭
和F
1⎫⎛
1)，以及二维分布函数F x 1，x 21⎪。 (x ；
⎝
2
⎭
⎧0，x
⎧⎛1⎫⎫⎪⎪1⎛1⎫
∴F x ⎪=P ⎨X ⎪≤x ⎬=⎨，0≤x
⎝2⎭⎩⎝2⎭⎭⎪2
⎪⎩1，x
≥1
随机矢量 X
⎧0，x
∴F (x ；1)=P {X (1)≤x }=⎨，-1≤x
⎪2⎪⎩1，x ≥2
⎛⎛1⎫⎫
-1)，(1，2). ，X 1()⎪⎪的可能取值为(0，2⎝⎝⎭⎭
而P ⎨X
⎧⎛1⎫⎫1⎧⎛1⎫⎫1
，=0，X 1=-1=P X =1，X 1=2()⎬()⎬=. ⎨ ⎪⎪
⎩⎝2⎭⎭2⎩⎝2⎭⎭2
1⎫⎧⎛1⎫⎫⎛
∴F x 1，x 21⎪=P ⎨X ⎪≤x 1，X (1)≤x 2⎬
2⎭⎝⎩⎝2⎭⎭⎧0，x 1
⎪1⎪
=⎨，0≤x 1
3. 设随机过程
{X (t )，-∞
X (t ，ω1)=1，X (t ，ω2)=sin t ，X (t ，ω3)=cos t
1
。试求数学期望EX (t )和相关函数R X (t 1，t 2)。 3
且P (ω1)=P (ω2)=P (ω3)=
1111
EX (t )=1⨯+sin t ⨯+cos t ⨯=(1+sin t +cos t ).
3333R X (t 1，t 2)=E ⎡⎣X (t 1)X (t 2)⎤⎦
111
=⨯1⨯1+⨯sin t 1sin t 2+⨯cos t 1cos t 2 3331
=(1+sin t 1sin t 2+cos t 1cos t 2) 31=⎡1+cos (t 1-t 2)⎤⎦. 3⎣
4. 设随机过程X
（t >0），其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。试求(t )=e -Xt ，
X (t )的一维分布密度。
解：
X (t )的一维分布函数为：
1⎫⎧
F (x ；t )=P {X (t )≤x }=P {e -Xt ≤x }=P {-Xt ≤ln x }=P ⎨X ≥-ln x ⎬
t ⎩⎭
1⎫⎧⎛1⎫
=1-P ⎨X
t ⎩⎭⎝t ⎭
X 具有分布密度f (x )， ∴X (t )的一维分布密度为：
⎛1⎫1⎛1⎫1"f (x ；t )=⎡F x ；t =-⎤ -t ⎪⋅x ⋅f -t ln x ⎪=tx ⎣()⎦
⎝⎭⎝⎭
P40
5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间望EX
⎛1⎫f -ln x ⎪. ⎝t ⎭
T )中的均匀分布。试求随机过程的数学期(0，
t 2)。 (t )和自相关函数R X (t 1，
解：由题意得，随机变量X 的密度函数为
⎧1
⎪，0
f X (x )=⎨T
⎪⎩0，其它
由定义，
T -tx 11T -tx 1-tx -Xt
⎤EX (t )=E ⎡e =e ⋅dx =-e d -tx =-e ()⎣⎦⎰0
T Tt ⎰0Tt
11
=-(e -Tt -1)=(1-e -Tt ). （t >0）
Tt Tt
T
-X (t 1+t 2)-Xt 1-Xt 2
⎡⎤ ⎡⎤R X (t 1，t 2)=E ⎡X t X t =E e ⋅e =E e ⎤()()12⎣⎦⎣⎦⎣⎦
T T -x (t +t )111
=⎰e -x (t 1+t 2)⋅dx =-e 12⋅d ⎡-x (t 1+t 2)⎤ ⎣⎦⎰00T T t 1+t 2T
=-
1
e -x (t 1+t 2)
T t 1+t 2T 0
=-
1⎡e -T (t 1+t 2)-1⎤
⎦T t 1+t 2⎣
=
1⎡1-e -T (t 1+t 2)⎤.
⎦T t 1+t 2⎣
9. 给定随机过程
{X (t )，-∞
⎧⎪1，X (t )≤x Y (t )=⎨
⎪⎩0，X (t )>x
试证：Y
（两(t )的数学期望和相关函数分别为随机过程X (t )的一维分布和二维分布函数
个自变量都取x ）。 证明：设
t 1，t 2)分别为X (t )的一维和二维概率函数，则 f 1(x ，t )和f 2(x 1，x 2；
+∞
x
-∞
-∞
m Y (t )=E ⎡t )dx =⎰f 1(x ，t )dx =F 1(x ，t ). ⎣Y (t )⎤⎦=⎰y (t )f 1(x ，R Y (t 1，t 2)=E ⎡⎣Y (t 1)Y (t 2)⎤⎦=⎰
=⎰
x 1-∞-∞
+∞-∞
⎰
+∞
-∞
y 1y 2f 2(x 1，x 2；t 1，t 2)dx 1dx 2
⎰
x 2
f 2(x 1，x 2；t 1，t 2)dx 1dx 2=F 2(x 1，x 2；t 1，t 2).
若考虑到对任意的t ∈T ，Y
(t )是离散型随机变量，则有
m Y (t )=E ⎡t ). ⎣Y (t )⎤⎦=1⋅P {Y (t )=1}+0⋅P {Y (t )=0}=P {X (t )≤x }=F 1(x ，R Y (t 1，t 2)=E ⎡⎣Y (t 1)Y (t 2)⎤⎦
=1⨯1⨯P {Y (t 1)=1，Y (t 2)=1}+1⨯0⨯P {Y (t 1)=1，Y (t 2)=0} +0⨯1⨯P {Y (t 1)=0，Y (t 2)=1}+0⨯0⨯P {Y (t 1)=0，Y (t 2)=0} =P {X (t 1)≤x 1，X (t 2)≤x 2}=F 2(x 1，x 2；t 1，t 2).
因此，Y P41
14. 设随机过程X
τ
Y )的协方差阵为 (t )=X +Yt ，-∞
(t )的数学期望和相关函数分别为随机过程X (t )的一维分布和二维分布函数。
⎡σ12γ⎤
，试求X (t )的协方差函数。 ⎢2⎥γσ⎣2⎦
解：依定义，利用数学期望的性质可得
C X (t 1，t 2)
{=E {⎡⎣(X -m
=E ⎡⎣(X +Yt 1)-(m X +m Y t 1)⎤⎦⎡⎣(X +Yt 2)-(m X +m Y t 2)⎤⎦
X
)+(Yt 1-m Y t 1)⎤⎦⎡⎣(X -m X )+(Yt 2
}
-m t )⎤⎦}
Y 2
=E ⎡⎣(X -m X )(X -m X )⎤⎦+E ⎡⎣(X -m X )t 2(Y -m Y )⎤⎦ +E ⎡⎣t 1(Y -m Y )(X -m X )⎤⎦+E ⎡⎣t 1t 2(Y -m Y )(Y -m Y )⎤⎦
=C XX +t 2C XY +t 1C YX +t 1t 2C YY
2
. =σ12+(t 1+t 2)γ+t 1t 2σ2
机变量，各自的数学期望为零，方差为1。试求X 解：
(t )的协方差函数。
C X (t 1，t 2)=E ⎡⎣X (t 1)-m X (t 1)⎤⎦⎡⎣X (t 2)-m X (t 2)⎤⎦
2222
⎤⎡(X +Yt 2+Zt 2=E ⎡X +Yt +Zt -m +m t +m t -m +m t +m t ()())()⎤11X Y 1Z 1X Y 2Z 2⎣⎦⎣⎦
{}
{}
„„„„„„„„„ ①
X ，Y ，Z 的数学期望均为0，即m X =0，m Y =0，m Z =0，将其代入①式，得：
22
C X (t 1，t 2)=E ⎡X +Yt +Zt X +Yt +Zt ()()⎤1122⎣⎦
222=E (X 2+XYt 2+XZt 2+XYt 1+Y 2t 1t 2+YZt 1t 2+XZt 12+YZt 12t 2+Z 2t 12t 2)
222222222=E ⎡X +XY t +t +XZ t +t +Y t t +YZ t t +t t +Z t 1t 2⎤()()()1212121212⎣⎦ „„„„ ②
D (X )=E (X 2)-E 2(X )，
∴E (X 2)=D (X )+E 2(X )=1+02=1.
同理，E
(Y )=1，E (Z )=1.
2
2
X ，Y ，Z 相互独立， ∴E (XY )=E (X )E (Y )=0.
同理，E
(XZ )=0，E (YZ )=0.
将上述结果代入②式，得
C X (t 1，t 2)
2=E (X 2)+(t 1+t 2)E (XY )+(t 12+t 2)E (XZ )+t 1t 2E (Y 2)+(t 1t 22+t 12t 2)E (YZ )+t 12t 22E (Z 2)
2=1+t 1t 2+t 12t 2.