【高中立体几何二面角的几种基本求法例题】 立体几何二面角例题

二面角的基本求法例题

一、平面与平面的垂直关系

1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB，AD=CD，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。

求证：平面BEF ^平面BDG 。

C

例2．AB ^平面BCD ，BC =CD ，? BCD 求证：平面BEF ^平面ABC 。

90

°

，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。

C1

2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角. 。

二、二面角的基本求法

1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求（1）二面角A -B 1C -

A 1的大小；

（2）平面A 1D C 1与平面AD D 1A 1所成角的正切值。

练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ^平面ABCD ，设PA=AB=a ，

求二面角B -P C -D 的大小。

2．三垂线法

例5．平面ABCD ^平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩AF=

12

C

C1

AD=a ，G 是EF 的中点，

（1）求证：平面AGC ^平面BGC ； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值；

B

（3）求二面角B -A C -G 的大小。

例6．点P 在平面ABC 外， A B C 是等腰直角三角形，? ABC

（1）求证：平面P A B ^平面A B C ； （2）求二面角P -AC -B 的大小。

90

°

， P A B 是正三角形，PA ^BC 。

练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角A -BD 1-P 的大小。

B1

B

3．垂面法

例7．SA ^平面ABC ，AB ^BC ，SA =AB =BC ， （1）求证：SB ^B C ；

（2）求二面角C -SA -B 的大小；

（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱

例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ^平面ABCD ，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cos q =

s 射影S

）

例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱A A 1的中点， 求平面PB 1C 1与平面ABCD 所成二面角的大小。

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