线中点点差法_解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线y 2=2mx (m ≠0) 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点P (x 0, y 0) 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为k MN ，则k MN ⋅y 0=m .
2⎧⎪y 1=2mx 1, (1)
证明：设M 、N 两点的坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，则有⎨2
⎪⎩y 2=2mx 2. (2)
(1) -(2) ，得y 1-y 2=2m (x 1-x 2).
22
∴
y 2-y 1x 2-x 1
⋅(y 2+y 1) =2m .
又 k MN =
y 2-y 1x 2-x 1
, y 2+y 1=2y 0.
∴k MN ⋅y 0=m .
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线x =2my (m ≠0) 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点P (x 0, y 0) 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为k MN ，则
1k MN
⋅x 0=m .
2
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且
不等于零.
例1．抛物线y =4x 的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. y 2=x -1 B. y =2(x -1) C. y
2
2
2
=x -
12
D. y =2x -1
2
解：m =2，焦点(1, 0) 在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为(x , y ) . 由k MN ⋅y =m 得：
2
y x -1
⋅y =2，
整理得：y =2(x -1) .
∴所求的轨迹方程为y
2
=2(x -1) . 故选B.
例2．抛物线y =2x 2上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ） A. x =
12
（y ＞
12
） B. y =
12
12
（x ＞
14
12
） C. y =2x （x ＞1） D. y =2x +1
解：由y =2x 2得x 2=
1k MN
12
y ，∴m =14
，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为(x , y ) .
由⋅x =m 得：12
⋅x =，
∴x =.
12
在y =2x 2中，当x =
时，y =
12
12
.
12
∴点M 的轨迹方程为x =（y ＞）.
故答案选A.
例3．（03上海）直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得的线段的中点坐标是___________.
m =2，解：焦点(1, 0) 在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为(x , y ) ，弦MN 所在的直线l 的斜率为k MN ，
则k MN =1. 由k MN ⋅y 0=m 得：y 0=2，
∴2=x 0-1. 从而x 0=3.
∴所求的中点坐标是(3, 2) .
例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线y =x -1相交，所得的弦的中点在x +y =5 上，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为y =2mx (m ≠0) ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为(x 0, y 0) .
由k MN ⋅y 0=m 得：y 0=m ，
∴x 0=y 0+1=m +1.
2
22
又 点P (m +1, m ) 在圆x +y =5上，
∴(m +1) +m
2
2
22
=5.
解之得：m =-2, 或m =1.
⎧y =x -1, 由⎨2得：x 2-2(m +1) x +1=0. ⎩y =2mx .
直线与抛物线有两个不同的交点，
2
∴∆=4(m +1) -4＞0.
∴m ＜-2，或m ＞0. ∴m =1.
故所求的抛物线方程为y 2=2x .
例5．已知抛物线y 2=12x 上永远有关于直线l :y =4x +m 对称的相异两点，求实数m 的取值范围.
解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为P (x 0, y 0) . 根据题意，点P 在直线l 上，AB ⊥l ，∴k AB =-又y 2=12x ，y 2=2mx ，∴m =6. 由k AB ⋅y 0=m ，得：-
14
⋅y 0=6，∴y 0=-24.
m +244
14
.
又由y 0=4x 0+m ，得：x 0=-
.
点P (x 0, y 0) 在抛物线的开口内，
∴(-24) ＜12⨯(-
2
m +244
) .
解之得：m ＜-216.
故实数m 的取值范围(-∞, -216) .
例6. （05全国Ⅲ文22）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点在抛物线y =2x 上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当x 1+x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当x 1=1, x 2=-3时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ） x =
2
2
12
y ，∴p =
1
1
, F (0, ) . 48
设线段AB 的中点为P (x 0, y 0) ，直线l 的斜率为k ，则x 1+x 2=2x 0.
若直线l 的斜率不存在，当且仅当x 1+x 2=0时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为y =k (x -x 0) +y 0，k AB =
-
1k
.
由
1k AB
⋅x 0=p 得：-kx 0=
1418
，∴x 0=-
14k
.
14
14
若直线l 经过焦点F ，则得：
=-kx 0+y 0=+y 0，y 0=-，与y 0≥0相矛盾.
∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.
综上所述，当且仅当x 1+x 2=0时，直线l 经过抛物线的焦点F.
x 1+x 2
2
y 1+y 2
2
（Ⅱ）当x 1=1, x 2=-3时，A (1, 2), B (-3, 18), x 0=
1k AB
14
=-1, y 0=
=10.
由
⋅x 0=p 得：k =
.
14
∴所求的直线l 的方程为y =(x +1) +10，即x -4y +41=0.
例7．已知直线x -y -2=0与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：y 2=4x ，y 2=2mx ，∴m =2. 直线的斜率为1. 由k MN ⋅y 0=m 得：y 0=2. 代入x 0-y 0-2=0求得x 0=4.
∴线段AB 的中点坐标是(4, 2) .
例8．直线y =kx -2与抛物线y =8x 交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则
|PQ |=____.
2
解：y =8x ，y
22
=2mx ，∴m =4.
在y =kx -2中，x 0=2时，y 0=2k -2，∴若PQ 中点的纵坐标是y 0=2k -2.
2
由k AB ⋅y 0=m 得：k (2k -2) =4，即k -k -2=0.
解之得：k =2或k =-1.
⎧y =kx -2, 22由⎨2得：k x -4(k +2) x +4=0. ⎩y =8x .
直线与抛物线交于不同的两点，
2⎧⎪k ≠0,
∴⎨
22
⎪⎩∆=16(k +2) -16k 0.
解之得：k ＞-1且k ≠0. ∴k =2.
⎧y =2x -2, 由⎨2得：4x 2-16x +4=0. 即x 2-4x +1=0. ⎩y =8x .
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=4, x 1x 2=1.
∴|PQ |=
(1+k ) (x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
2
5(16-4) =2.
例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线l :y =-4x +1被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为-2，则抛物线C 的方程为____________. 解：y 2=8x ，y 2=2mx ，∴m =4. 由k AB ⋅y 0=m 得：k AB =4.
∴AB 所在的直线方程为y -1=4(x -4) ，即4x -y -15=0.
例10．设P 1P 2为抛物线x 2=y 的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为y =-x +3，求弦P 1P 2所在的直线方程.
解：设抛物线的方程为y 2=2mx （m ＞0）. 在y =-4x +1中，斜率为-4，y =-2时，x =由k AB ⋅y 0=m 得：-4⨯(-2) =m ，∴m =8.
∴所求的抛物线的方程为y
2
34
. ∴弦AB 的中点M 的坐标为(-
34
, -2) .
=16x .
2
例11．过点Q (4, 1) 作抛物线y =8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.
22
解：x =y ，x =2my ，∴m =
1212
. 弦P 1P 2所在直线的斜率为1. 设弦P 1P 2的中点坐标为.
12
52
15
(x 0, y 0) . 由
1k P 1P 2
⋅x 0=m 得：x 0=
弦P 1P 2的中点也在直线y =-x +3上，∴y 0=-
∴弦P 1P 2所在的直线方程为y -
2
+3=
. 弦P 1P 2的中点坐标为(, ) .
22
52
=1⋅(x -
12
) ，即x -y +2=0.
例12．已知抛物线y =2x 上有不同的两点A 、B 关于直线l :y =x +m 对称，求实数m 的取值范围. 解：设弦AB 的中点为P (x 0, y 0) .
根据题意，AB ⊥l ，∴k AB =-1. 又x 2=
1k AB
12
2
y ，x =2my ，∴m =
14
.
14
由
⋅x 0=m ，得：-1⋅x 0=
1414
，∴x 0=-
.
又由y 0=x 0+m ，得：y 0=-
+m .
点P (x 0, y 0) 在抛物线的开口内，
∴(-
14) ＜
2
12
⨯(-38
14
+m ) .
解之得：m ＞.
3
故实数m 的取值范围(, +∞) .
8
例13．（05全国Ⅲ理21）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点在抛物线y =2x 2上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当x 1+x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ） x =
2
12
y ，∴m =p =
1
1
, F (0, ) . 48
设线段AB 的中点为P (x 0, y 0) ，直线l 的斜率为k ，则x 1+x 2=2x 0.
若直线l 的斜率不存在，当且仅当x 1+x 2=0时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为y =k (x -x 0) +y 0，k AB =-由
1k AB
⋅x 0=m 得：-kx 0=
1418
1k
.
，∴x 0=-
14k
.
14
14
若直线l 经过焦点F ，则得：
=-kx 0+y 0=+y 0，y 0=-，与y 0≥0相矛盾.
∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.
综上所述，当且仅当x 1+x 2=0时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当k =2时，由（Ⅰ）知，x 0=-
∴它在y 轴上的截距b =y 0+
14
18
，直线l 的方程为y =2x +y 0+
14
14
，
，y 0=b -
.
12x +b -
516
直线AB 的方程为y =-
12
(x -x 0) +y 0，即y =-
.
代入y =2x 2并整理得：4x 2+x -2b +
直线AB 与抛物线有两个不同交点， ∴∆=1-16(-2b +∴b ＞
932
58
58
=0.
) ＞0，即32b -9＞0.
.
932, +∞) .
故l 在y 轴上的截距的取值范围是(
例14．(08陕西文理20) 已知抛物线C ：y =2x 2，直线y =kx +2交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使NA ⋅NB =0，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）x =
2
12
y , m =p =
14
，设点M 的坐标为(x 0, y 0) .
当k =0时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当k ≠0时，由
1k AB
⋅x 0=p 得：x 0=
k 4
.
∴y N =2x 0
2
k k
. 得点N 的坐标为(, =) . 848
k
2
k
22
设抛物线C 在点N 处的切线方程为y -
8k
2
=m (x -
k 4
) ，即y =m (x -
k 4
) +
k
2
8
.
代入y =2x ，得：2x =m (x -
2
22
k 4
) +
8
，
整理得：2x -mx +
2
km 4
-
k
8
=0.
∆=m -8(
2
km 4
-
k
2
8
) =m -2km +k
22
=(m -k ) =0，
2
∴m =k ，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.
故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.
（Ⅱ）解：若NA ⋅NB =0，则NA ⊥NB ，即∠ANB =90︒.
∴|AB |=
2|AM |=2|BM |=2|MN |.
y 0=kx 0+2=
k
2
+84
，
∴|MN |=y 0-y N =
k
2
+84
-
k
2
8
=
k
2
+168
.
⎧y =kx +2, 2由⎨得2x -kx -2=0. 2
⎩y =2x .
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=
2
2
k 2
, x 1x 2=-1.
∴|AB |=
(1+k )[(x 1+x 2) -4x 1x 2]=
2
(k
2
+1)(
k
2
4
+4) =
12
(k
2
+1)(k
2
+16) .
∴
12
(k
2
+1)(k
2
+16) =2⨯
k +168
. 即(k +1)(k +16) =
22
(k
2
+16) 4
2
.
化简，得：k +1=
∴k =±2.
2
k
2
+164
，即k 2=4.
故存在实数k =±2，使NA ⋅NB =0.