广义函数与H函数_不确定时滞广义系统的H∞弹性保性能控制

　　摘要: 基于线性矩阵不等式(LMIs)方法,研究了一类不确定时滞广义系统的H∞弹性保性能控制器的设计问题。在假定控制器增益扰动范数有界的前提下,设计状态反馈控制器,使得闭环系统不仅对容许的参数不确定性保持正则,稳定,无脉冲,而且使得闭环系统性能指标具有上界的同时满足给定的H∞性能γ。以LMIs形式给出了状态反馈H∞弹性控制器的设计方法。最后,数值算例证明了该设计方法的有效性和可行性。
　　关键词: 时滞广义系统 不确定性 H∞控制 弹性保性能控制 LMIs
　　中图分类号:TP13 文献标识码:A文章编号:1007-9416(2010)05-0000-00
　　
　　Guaranteed cost H∞ control for uncertain time-delay singular systems
　　LinYufeng
　　(Fuzhou University, Fujian, Fuzhou 350108, China )
　　Abstract: Design problem of H∞ resilient guaranteed cost controller for uncertain time-delay singular systems is discussed based on LMIs. The controller gain perturbation is assumed to be norm-bounded. Under the robust resilient state feedback controller, the close-loop systems not only keeps regular, causal and stable for all admissible uncertainties, but also satisfies a given disturbance H∞ performance γand provides a guaranteed cost. The H∞ resilient guarantee cost controller can be obtained via LMIs. Finally, an example is given to illustrate the effectiveness and feasibility of this theory.
　　Keywords: time-delay singular systems; uncertainties; H∞ control; resilient guaranteed cost controller; LMIs
　　
　　1 引言 (Introduction)
　　近年来,时滞广义系统的研究引起了众多学者的广泛关注[1-4],并取得了丰硕的成果。时滞的存在使得系统的分析与综合变得更加复杂和困难。并且由于实际系统不可避免的同时存在大量的不确定性因素和外部扰动,所以,控制系统设计中必须同时考虑到闭环系统的鲁棒性和抗干扰能力。保性能控制不仅使不确定系统具有某种确定的二次性能指标上界并且保证闭环系统是容许的。而H∞控制是一种处理干扰的有效方法。近几年,保性能控制问题[5-6]以及H∞控制问题[7-10]的研究已经取得了令人瞩目的成果。然而,在大多数的文章中没有考虑到控制器的不确定性。但是,在实际应用中很大情况下控制器参数存在摄动。这时传统的控制器会表现很强的保守性。
　　本文是把保性能控制思想和H∞控制思想的优点结合运用到时滞广义系统中,在控制器存在摄动的情况下,设计控制器使得闭环系统具有良好的动态性能,并且具有较小的保守性。
　　
　　2 问题的描述 (Problem formulation)
　　考虑一下不确定时滞广义系统
　　其中 为给定的加权正定矩阵。
　　引理 1[2] 如果( )正则,无脉冲,则时滞广义系统(4)在[0,∞)上存在唯一解且无脉冲。
　　对时滞广义系统(1),设计具有增益摄动的控制器(9)
　　其中 为控制器增益, 为增益的摄动。本文考虑具有加法式摄动的增益,即 满足:
　　其中 是已知常数矩阵, 为未知矩阵。
　　定义 1 对于不确定时滞广义系统(1)的自治系统( )和性能指标(5)及平方可积的外部干扰 ,对于所有容许的不确定性满足
　　① 系统在不考虑外部干扰时,正则,稳定,无脉冲;
　　② 当系统满足零初值时, , 为给定的H∞性能;
　　③ 性能指标 存在上界 。
　　则不确定时滞广义系统(1)被称为H∞保性能系统。
　　本文的目的是设计系统(1)的形如式(9)的弹性控制器,使得相应的闭环系统
　　为H∞保性能系统。
　　
　　3 主要结论 (Main results)
　　定理1给定常数 ,对于不确定时滞广义系统(1)以及性能指标(5),当系统无外部输入时( ),若存在可逆矩阵 和正定矩阵 ,对于所有的不确定性 使得下式成立
　　其中 ,则不确定时滞广义系统(1)为H∞保性能系统。
　　证明对于性质①,不考虑外部干扰时,式(12)蕴含下式成立
　　根据引理1知,系统为正则,稳定,无脉冲的,性质①得证;
　　对于性质②,构造Lyapunov泛函: (15)
　　其中 , 为正定矩阵。由于
　　对于性质③,由式(17)知,系统的性能指标
　　 故 为性能指标的上界,性质③得证。
　　定理2 给定常数 ,对于不确定时滞广义系统(1)及性能指标(5),在状态反馈控制器(9)下,若存在满足式(12)可逆矩阵 ,正定矩阵 ,矩阵 及标量 ,使
　　 则闭环系统为H∞保性能系统,此时状态反馈控制器增益为 。
　　证明令 ,式(13)左乘 右乘 ,再根据Schur补性质,则式(13)可化为
　　由于 ,则根据引理3知式(18)成立等价于存在 使得
　　根据定理1,此时闭环系统为H∞保性能系统,状态反馈控制器增益 ,定理得证。
　　定理3 给定常数 ,对于不确定时滞广义系统(1)和性能指标(5),以及具有式(10)形式摄动的控制器,若存在满足式(12)可逆矩阵 ,正定矩阵 ,矩阵 及标量 使得以下不等式成立
　　则时滞广义系统(1)在弹性控制器增益 下实现H∞弹性保性能控制。
　　证明当控制器为 ,其中控制器摄动满足式(10)时,根据引理3,则定理2的条件变为:存在 使
　　成立,其中 。则此时时滞广义系统(1)实现H∞弹性保性能控制,故定理得证。
　　推论考虑不确定时滞广义系统(1)和性能指标(5),如果下面的凸优化问题
　　证明由约束条件3和Schur补性质,可知 ,由约束条件4和Schur补性质可知 ,再由 ,故 的最小化将保证 的最小化。进一步 就是性能指标的上界 ,此时优化问题(15)可达到全局最优。
　　
　　4 数值算例 (Numerical example)
　　对于不确定广义系统(1),取
　　
　　5 结语 (Conclusion)
　　本文将H∞性能γ和保性能控制思想有效的结合在一起,研究了时滞广义系统在弹性控制器下的H∞保性能控制问题。对所给的时滞广义系统设计弹性状态反馈控制器,使得闭环系统正则,稳定,无脉冲,满足给定的H∞性能γ的同时也使某一的性能指标具有上界。基于LMIs方法给出了该H∞弹性保性能控制器的设计方法。本文所设计的控制器不仅满足给定的H∞控制要求,也保证了性能指标尽可能小,同时也考虑了控制器本身的不确定性。因此,本文具有更好的实际意义。
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　　作者简介:林宇峰:男,助教,研究方向为:系统控制、信息安全。
　　基金支持:福建省自然科学基金,2009J05142。
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