浅谈中学数学因式分解的几种方法 初二因式分解题20道

　　【摘要】 因式分解是中学数学重要内容之一,对于学生来说也是难点之一,我通过多年教学对因式分解有比较深刻的认识,要学好因式分解,首先必须理解什么是因式分解,如何进行因式分解,因式分解有什么作用等等。那么什么是因式分解呢？因式分解就是将一个多项式化为几个整式乘积的形式,因式分解也称分解因式。关于这个概念要弄明白三点:1、左边是一个多项式的形式;2、化得的结果必须是乘积形式;3、是整式。
　　【关键词】 中学数学 因式分解
　　【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0092-01
　　例:判断下列式子是否为因式分解:
　　(1)m(a＋b)=ma＋mb(2)x2+x+1=x(x+1)+1(3)x+1=x(1+)
　　解:由定义知(1)(2)(3)都不是因式分解。
　　如何将一个多项式进行因式分解呢？下面我着重介绍因式分解的几种方法:
　　1 提公因式法
　　如果一个多项式中含有公因式,将这个公因式提取出来放在括号的前面从而将一个多项式化为两个整式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
　　例1. 把下列多项式因式分解:
　　(1)6+3xy (2)(a-b)-3(b-a)
　　解:(1)6xy+3xy=3xy(2xy+1)
　　(2)(a-b)-3(b-a)=(a-b)+3(a-b)=(a-b)(a-b+3)
　　注意:(1)因为首项为负一般先提取负号从而将其化为正。
　　(2)公因式3xy提取之后第二项为1,并不能误认为为0
　　提公因式法可以概括为:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到底。
　　2 运用公式法
　　这里的公式指的平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立方和公式。
　　例1:把多项式a-1进行因式分解
　　分析:a可以写成(),1可以写成1,所以恰好符合平方差公式。
　　解:a-1=()-1=(+1)(-1)=(+1)(a+1)(a-1)
　　注意:分解要注意数域范围,如果在复数域分解因式,则还可以继续分解即a-1=(a+1)(a-1)=(a+i)(a-i)(a+1)(a-1)
　　例2、把下列各式分解因式:
　　(1)9x-12xy+4y(2)-a-6a-9
　　解:(1)9x-12xy+4y=(3x-2y)
　　(2)-a-6a-9=-(a+3)
　　3 十字相乘法
　　十字相乘法主要解决二次三项式这一类问题,有些问题用十字相乘法就显得非常简便。具体操作如下:1、十字形的左边是把二次项分解成两个因式的乘积,右边是把常数项分解成两个因数的乘积,使得交叉相乘乘积的和等于一次项的系数;2、书写时要横着写且十字形左边的未知数常常省略。
　　4 分组分解法
　　把多项式中某些项放在一起从而实现因式分解,这种分解方法叫分组分解法,一般地当多项式项数多于三项时用分组分解法。
　　例1:把下列多项式因式分解:
　　(1)mn-m-n+1(2)a-2ab+b-1
　　解:(1)mn-m-n+1=(mn-m)-(n-1)=m(n-1)-(n-1)=(n-1)(m-1)
　　(2) a-2ab+b-1=(a-2ab+b)-1=(a-b)-1=(a-b+1)(a-b-1)
　　5 求根公式法
　　对于一般的二次三项式ax+bx+c=a(x-x)(x-x)
　　其中a0,x、x为对应方程即ax+bx+c=0的两个根。
　　6 配方法
　　配方法也是解决二次三项式的一种行之有效的方法,对于上面例1也可以运用配方法来解决。
　　x-x-1=(x)=(x)-=(x)(x)
　　7 待定系数法
　　例:把多项式x-3x-5因式分解
　　解:设x-3x-5=(x-a)(x-b)
　　有整式乘法知(x-a)(x-b)=x-(a+b)x+ab
　　有比较系数法知解之得
　　所以x-3x-5=(x)(x)
　　8 观察法
　　观察法是解决高次多项式的一种重要方法
　　例:把x+3x-4进行因式分解
　　分析:观察三项的系数分别为1、3、-4所以x=1是对应方程x+3x-4=0的根,因此(x-1)是多项式x+3x-4的一个因式,有整式的除法可以求得另一个多项式为(x+x-4)
　　解:x+3x-4=(x-1)(x+x-4)
　　这些最基本的方法可以概括为以下几句话:先看有无公因式、再看能否套公式、十字相乘试一试、分组分解要彻底。
　　参考文献
　　[1] 吴之季,张孝达.华东地区初中数学教材编写协作组编级中学教科书(第三册)[M].上海科技出版社,31-41.
　　[2] 闵嗣鹤.《初等数论》[M].安徽教育出版社,20-32.