[浅谈广义逆矩阵] 4种分块矩阵的逆矩阵
摘要： 文章介绍莫尔-潘鲁斯(Moore-Penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件I与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件I和IV与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。
Abstract: The article introduces the concept of Moore-Penrose"s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. Theorem 1 and Theorem 2 in this article illustrate the relation between Conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.Theorem 3 illustrates Condition I and Condition IV"s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation.
关键词： 广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解
Key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）25-0236-02、
0 引言
在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组
a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■ （1）
或矩阵方程Aξ=β （1）’
的求解问题。通过线性代数的学习，我们知道方程组（1）有解的充分必要条件是A与其增广矩阵有相同的秩。而方程组（1）存在唯一解，必须方程组未知数的个数与系数矩阵的秩相等，若A是方阵，且A非退化（即A满秩|A|≠0），则A存在逆矩阵，为A-1=A*/|A|，其中A*是A的伴随矩阵，则方程组有唯一解，可表为ξ=A-1β，唯一性在线性代数讲过，在这不再赘述。
上面要求在一些实际问题中是不容易满足，那是因为：
①实际问题中，方程个数与未知量个数不等s≠n，A不是方阵，不存在逆阵A-1，但方程组（1）却又是可解的（即相容的）。
②还有可能是，希望在无解方程组中找到既使模|ξ|最小，又使A■-β■最小的解。
总之，根据问题的需要，我们光用逆矩阵的概念解决不了这样的问题，所以有必要推广逆矩阵，下面先介绍广义逆矩阵的定义。先来看
设A是n×n可逆阵，β是任意一个n×1矩阵，则方程Aξ=β总有解，且解可表示为ξ=A-1β，现在设A是任意m×n阵，b是一个m×1矩阵，是否存在n×m矩阵X，使得只要方程Aξ=β有解，ξ=A-1β就是解？这样的矩阵就是广义逆矩阵，在未给出概念前，先看看X满足条件。
引理：设A为m×n阵，某个n×m阵X，对任意n维列向量X0及β=AX0满足A×β=β的充分条件是AXA=A
1 定义
设A为m×n矩阵，如果n×m矩阵X满足AXA=A，则称X为A的一个广义逆矩阵，且广义逆矩阵具有下面四个性质：
I AXA=A II XAX=X III（AX）T=AX IV （XA）T=XA
其中（·）T表示转置，A的广义逆记为A+；广义逆矩阵的四个性质与引言中的实际问题之间有什么联系，我们做如下的论证。
2 论证
以上定义中的广义逆矩阵X，如果在s=n且|A|≠0的情况下，则广义逆矩阵就是学过的逆矩阵，当A可逆时，A-1满足四个性质。广义逆矩阵的四个性质，作为X的方程，是可解的，具有四个性质的X又是唯一的。证明如下：
定理：设A是m×n，则矩阵方程组
AXA=A （1）XAX=X （2）（AX）■=AX （3）（XA）■=XA （4） 有唯一解。
证明：若rankA=0，此时n×n矩阵A为零矩阵，显然n×n零矩阵满足方程（1）——（4），现在设rankA=r>0，有满秩分解A=FG有，
于是FHAGH=（FHF）（GGH）
又因为 FHF和GGH均为r阶非奇异矩阵，因此FHAGH也是非奇异矩阵，而且
（FHAGH）-1=（GGH）-1（FHF）-1
令X=GH（FHAGH）-1FH，则X=GH（GGH）-1（FHF）-1FH
易验证这个n×m矩阵X满足方程组（1）——（4）。
证明唯一性：假设有两个n×m矩阵X和Y，满足方程组（1）——（4），则
X=XAX=X（AX）H=XXHAH=XXH（AYA）H
=XXHAHYHAH=X（AX）H（AY）H=XAXAY=XAY
=（XA）H（YAY）=（XA）H（YA）HY=（YAXA）HY=（YA）HY=YAY=Y
故方程组（1）——（4）有唯一解。
下面来讨论一下广义逆矩阵满足的四个性质与以上提出的实际问题有何关系？
①性质I的引进
对有解方程Aξ=β