判断函数的奇偶性_函数的奇偶性经典例题
沽
南
京大 学 附属中学 陈 建红
【 编 者话的 】亲 爱 同的学 ， 们数学 学 ， 习你一 定 非 常视 解重题 ，希 望 提 高自的己解题 能
吧．力是 ， 解的是 数 学题学习的 要 形 重式 ．么那 怎样 学，习 解题呢？ 本 刊 辟特“ 举题 法说 专” 栏，
过通典 问型 的 题分析 与 决解 ，让 经 你历解题 的过 ， 程你与 分享 解 题 心得的 共， 提 同高 解 题的
水平 ．愿 本 栏 目成 为你 的 好朋 友 ．
１． 判 下断 列 函数的 奇偶性 ．
（１ ） －厂 （ ｚ） 一（２ｚ 一 １） 一 ． ３
否用
图法 判象断 ？ 呢
画图 的 难 点 在哪 里？ 显 然在两 个 绝 对
绝 值对怎号么去， 然当 绝看 值对 号 上 述数 函的定义 域是 ， Ｒ直接 画出 二次 值号上 ， 数函的 图 ，象 可 发现 以 该象 既图不 于关Ｙ 轴 里的正负． ＋１ Ｉ 里ｊ要 与看一 １ 的小大关
ｌ
一１ Ｉ 里 看要 与 ｌ的 大 关 小． 从 而 系 对 称 也， 关不 于 点原对 称 所，以 该 函 既数不 系 ，
是 奇函 数也 是不 偶函数 ．在数轴 上 将实 数ｚ 分三 个 分 部来 讨论 ．当 ． ｒ
（ ）一 一 （ ４－ １）一 （ 一１） 一如 我果 用 们定义 来 判断， 有 ｆ （ ）一一 ≤一１时 ，
一
，２（一 １一 ） 一３ ，而 厂 （ ） ＝ ＝ ＝ ２（ １ ～） 一３ ， 不
２ｘ ；当一１＜ｚ ＜ １ 时， 厂 （ ） ４ 一－１ 一（ ｒ
— 一）２； 当 ≥ １ 时，， ’ （ ） 一 ＋ － Ｆ１（ ～ １ ）一 直能 看接 ，出（ ） 与 厂（一 ｚ ）关的系 ， 可 通以 ２ １ｘ 下面 只．要画 分出 段 数 的函图 象， 奇 偶 过性举特 例 （ ～１ ）５一 ，厂（ １） 一一 ３ ， 则（ 一 ）
１≠厂
（ １） ， 且 厂（一１ ≠一 ）（ １） ， 所以该 函数既
自然
就明 白 了
．不
是 奇数 也不 函偶是 数函．
有 一 需要 说点 ， 明判当 断 某函 数 是 奇 非
非偶 函 数时 ， 举 特例 是可以 的 ，但不 用 能
特此可由知， 若 个一函数 的 象图形状 已知 ， 可以虑用考 图法来判象断函 数的奇性 ．偶
３） （ ）一 ．
例 来说
明该 函 数具 有奇 性． 偶比 如个一 数函 满足 － 厂 （一１ ） 一－厂 （ １ ）， 则 不 说能明该函 具数
偶有 函 的数特性．
这 题一 如 果按 照 上 一 题 的 方 法 去 绝 对
值
再号画 图 操 作，起 来 比就 较 困难 ，了为 什 么呢 ？因 这 为个
函数 不是 我们 所 熟 悉 一的 次 、二 次、 反 比 例 数 函，图 象形 状知不道，
只（
２ ）＿ 厂 （ ）一 ｌ １ ＋ ｌ ｌ ＋一 １ ．１
本 题用定 义法显 非然常 容易 判 断 ， 能那
４３ Ｎ ｗ ｅ ｎＵ ｉｖ ｒｅ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔｒ ａ ｎｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｉｍｎ ａ ｔｉ ｏ ｎ
能
试尝 用 定义法 判断 ．
我 们先 看 来第 一步， 其 定义 应域 足满
里 找到切 人点， 先 去对 值绝号再 判断 ． 如何
去？ 看绝 对 值号 里 的 正 负，正 负
由定 域义可 以 知 道， ， －Ｚ＋３ ＞０， 从而 ｆ（ ｚ） 一
』【 ｌ 一 ＋＿ ３ １ 即 ［ 一 １ ，０ ）ｕ（ ｏ ， １ ］ ，定 义域 ３ ≠ ０， —
／二 １ｅ ｒ — ２！——￡一— 一 — Ｘ—， 这件 赵样 里耕 新冉 重再用 定疋 义 ＿ 义 法 判 Ｌ－ ９
ｍ
￣
－
９
关 ，原于 点 对 ．称 看 再 （ ｆｘ － 一） ￣ ／ ｉ １－ （ － ｘ ） ２
断
就非 常简单 了．
蔫
， 一 而厂（ ） 一
，
看 不 要适 时 对 该函 数在 定 义 范域围 内 进行化 简
＿与 厂（ ） 的 关．系
由 可此以 看 出 ， 判断 函数奇偶在 时， 性
出
－厂（ －ｘ ） 与 －厂 （ ｚ ） 的系关，此 解时 题 陷入了 变 ，形 用函 数的 最简形式 更容 看 出 厂易 （ ）～
局僵， 怎 么办 ？
瓶
在颈哪 里 ？在分 母 ！ 分母 中 含 有 绝
参
考 答案 ： （ ）非奇１ 偶非函 ；数（ ２ ）偶 函
对
值， 导 不 致能一 眼 看出两 母分的 关 系 ， 哪 ；数（ ３奇 ）函数．
里 有困难 ， 哪 里 是 题就目 “的死穴” 就 从， 这
２
． 判断 下 列 函 的数奇 偶 性 ．（ １ｆ） （ ）ｘ一 一
厂 （ －ｘ ） － 与 （ ｚ厂 ）的关 系；第 四 ， 得步 ｆ（出 ） 的 奇偶性 ．
们我有 了 解 第一 大 题 第（ ３ ） 小问 的 经
，验 对 数 ｆ函 （ ） 进 行化 得简ｆ （ 一 ）
（２ ）厂 （ ）一 ￣ ／ １ 一 ＋￣ ／ ｚ １ ．一
这 一题 如 果 按 不照 述 步上骤 进 行 判断，
容易很 出一个得偶 函 数错的 误 案答哦． 但 是 如 果 们我 规 矩规 地矩按 照步骤 来 ， 第步一 ， 出求定域 义｛ ｛ 一 １ｚ或一 １ ） 第 ；
二
一车２ ， 据 定根义 ， （ 厂 ～ ）ｚ 一 一２ ｚ 一 一
（厂 ， ） 得 厂 （ ｚ－） 为奇 数 ．函
在定 义域范 围化 简 －内 （ 厂） ｚ０一； 第步 ， 三
哈哈 别，得意太 早 ，上 述 答 解 程 很过有 步，
题 问， 为什 呢么 没？ 考 有定 义虑域 啊 ！ 义域定 是 从 原数函而 来 的 你，约去“ ＋ 根 据 义定 厂（ 一 一 ）（ １ ｚｆ） 且 厂（ 一 ｚ）一
一．
＿厂 （ ） ， 得 出可ｆ （ ）ｚ既 是 奇 函数 又 是
偶 １ ”的候 考 时虑清 楚 了吗？ｚ １＋≠ ， ０ ≠得 函 数 ．一
１
， 显 然不 关原于 点 对称 ， 函该 就 是 非 数
奇所
以做 题不 凭能自己 的感 ，觉 严 要格 按 照 题 解程 序的， 踏 踏实把 实一每步 做， 否
好非 偶函数 了．
俗话
说 得 ： 好 以规不矩 ，不 能 那么 ， 判在断 函奇 偶数性 时是 先 求定 则义 出纰会 的漏 ．域 还 是先， 简化 形 变 呢？ 第 步，一 先 求出原 函 的定 数 域义 第； 二
成方
圆 ．同 学 ，们你 们 会 了吗 学 ？
考参 答 案： （ １ ）非奇 非 偶函 数 （；２ ）既 奇
步，在 定义域 范 围内化简 形变； 第三步 看， 又偶函 数．
Ｎ
ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｒｅｓ ｉ ｙｔ Ｅ ｎｔｒ ａ ｃ ｎｅ Ｅ ｘ ｍａ ｉｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ Ｉ Ｉｉ