导数应用的热点题型分类例析:导数大题题型归纳

　　导数的引入，为解决函数问题提供了一般性的方法，也能快速简捷地解决一些实际问题。因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面。下面谈谈导数的应用题型及应对策略。
　　1．求切线斜率
　　[JP2]根据导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。主要涉及：⑴曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的斜率k，倾斜角为θ，则tanθ＝k＝f′(x0)；⑵其切线l的方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)。[JP]
　　例1曲线y=13x3+x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）。
　　（A）19（B）29（C）13（D）23
　　解：由题意知，y′=x2+1，故在点1，43处的切线斜率为2，方程为6x－3y－2=0。
　　令x=0，则y=－23；令y=0，则x=13。
　　故所求三角形的面积为19，选A。
　　2．求单调性
　　一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数。单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性；③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．
　　例2已知a∈[WTHZ]R[WTBX],求函数f(x)=x2eax的单调区间。
　　解：函数f(x)的导数：f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax。
　　（1）当a=0时，若x0,则f′(x)>0。所以当a=0时，函数f(x)在（－∞，0）内为减函数，在（0，+∞）内为增函数。
　　（2）当a>0时,由2x+ax2>0,解得x0,由2x+ax20时，函数f(x)在（－∞，－2a）内为增函数，在（－2a，0）内为减函数，在（0，+∞）内为增函数。
　　（3）当a0，解得0－2a。所以当a0，∴a>－53。
　　x(－∞,－1)－1(－1,1)1
　　(1,+∞)
　　f′(x)＋0－0＋
　　f(x)极大值极小值
　　∴当x=－1时取得极大值，x=1时取极小值，即f(－1)－f(1)=4，∴a+b=－3。
　　再由b=－3a－5，解出a=－1，b=－2。
　　(2)f(－1)=3为极大值，f(1)=－1为极小值。
　　4．求最值
　　运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：
　　若f(x)在\[a，b\]上连续，在(a，b)内可导，则
　　（1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点。
　　(2)比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在\[a，b\]上的最大值，最小者便是f(x)在\[a，b\]上的最小值。
　　例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t－1(x∈[WTHZ]R[WTBX]，t>0)。
　　（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；
　　（Ⅱ）若h(t)0)，∴当x=－t时，f(x)取最小值f(－t)=－t3+t－1，即h(t)=－t3+t－1。
　　（Ⅱ）令g(t)=h(t)－(－2t+m)=－t3+3t－1－m，由g′(t)=－3t2+3=0得t=1，t=－1（不合题意，舍去）。
　　当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
　　t(0，1)1(1，2)
　　g′(t)+0－
　　g(t)递增极大值1－m递减
　　∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)=1－m。
　　h(t)1。
　　总之，随着新课改的不断深入，导数愈来愈会变成高考的热点内容，既要注意导数的工具性，也要注意导数与其他知识间的整合。
　　（作者单位：河南省登封市第二高级中学）