【不等式的应用】 初中不等式的应用例题

知识讲解

整数解问题

【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，

至少以每秒_____米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域？

【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞

赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了道题．

【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，

安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）

A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆

【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照

片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，

问后几天每天平均至少要完成多少土方？

【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只

有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？

【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元（有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，

要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？

【例8】 某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并

且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？

【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至

多能买几个西瓜？

【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还

剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）． ⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？（用含x的代数式表示）． ⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名

【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可

装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

【例12】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至

多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？

求范围以及具体数目问题

【例13】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多．若

把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球与红球各有多少个？

【例14】 “六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特

意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套，那么余5套;如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？

【例15】 某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，

此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？

【例16】 暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每

天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围（单位：公里）．

【例17】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学

音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”。试问：这个班共有多少学生？

方案决策问题

【例18】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球

类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票：

（1）若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？

（2）若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？

【例19】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制

造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．

⑴请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；

⑵若要使每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？

【例20】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为

平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．

（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？

（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？

【例21】 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：

A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超

B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一过5000元的情况下，购买A，

半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题： （1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

【例22】 某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售

价40元．

（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．

B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示，【例23】 某饮料厂开发了A，

B两种饮料共100瓶．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A，设生产A种饮料x瓶，

解答下列问题：⑴有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；⑵如是A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？

【例24】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小

亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴求每支钢笔和每本笔记本的价格；

⑵校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．

【例25】 2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花

卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

同步练习

【例26】 在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排

队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

【例27】 某高速公路收费站有m（m0）辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变，每

个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。若同时开放两个收费窗口，只需8min就可以将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过，若要求在3min内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？

【例28】 为加强公民的节水意识，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立

方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收

0.4元的城市污水处理费，如果某单元共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均

未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的最多有多少户？

【例29】 某人想在距离公司额车程不超过30分钟的区域内找一处住宅，已知距离公司不大于6千米的区域

内，汽车平均每小时只能走30千米，其他地方每小时可走50千米，试问此人住宅选址离公司的最大距离应控制在多少千米内？

【例30】 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小警察”活动，星期天选

派部分学生到交通路口执勤，协助交警维护交通秩序。若每个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人，求这个中学共选派执勤学生多少人，在几个交通路口安排执勤

【例31】 一辆公共汽车上(5a4)名乘客，到汽车到站后有(92a)名乘客下车，车上原来有多少名乘客？

【例32】 一批物资急需一次运往地震灾区，若用n辆载重量为5吨的汽车装运，则会剩余21吨物资；若用

则有(n1)辆汽车满载，最后一辆汽车不空，但所载物资不足5吨，n辆载重量为8吨的汽车装运，问这批物资共有多少吨？

【例33】 某生产“科学计算器”的公司有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多

方考察，发现公司的生产能力受到限制，决定引入一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作，分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20%，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的总产值，而新生产线生产计算器的总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半，试确定分派到新生产线的人数

【巩固】福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件

或裤子5条．

（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？ （2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

【变式】某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的

汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．

⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请选择最省钱的租车方案．

课后练习

1. 甲、乙两人到某特价商店买商品，商店的商品只有两种单价8元和9元．已知两人购买商品的件数相同，

且两人购买商品一共花费了l72元．求两人共购买商品各多少件？

2. 王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购

物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？

3. 小强和小林共下了10盘棋，小强胜一盘记1分，小林胜一盘记3分．当他俩下完第9盘后，小强的得分高

于小林；下完第10盘后，小林的得分高过小强．小强胜盘，小林胜盘？

4. 某钢铁企业为了适应市场竞争的需要，提高生产效率，决定将一部分钢铁生产一线员工调整去从事服务

性工作．该企业现有钢铁生产一线员工1000人，平均每人全年可创造钢铁产品产值30万元．根据规划，调整出去一部分一线员工后，生产一线员工平均每人全年创造钢铁产品产值可增加30％，调整到服务性工作岗位人员平均每人全年可创造产值24万元．如果要保证员工岗位调整后，它们全年的总产值至少增加20%，并且钢铁产品的产值不能超过33150万元．怎样安排调整到服务性工作岗位的人数？

5. 某城市平均每天产生生活垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理．若甲厂每时可处理垃圾55吨，需

费用550元；乙厂每时可处理垃圾45吨，需费用495元．

（1）甲、乙两厂同时处理该城市的生活垃圾，每天需多长时间才能处理完？

（2）如果规定该城市每天用于处理生活垃圾的费用不超过7260元，那么甲厂每天至少应处理垃圾多长时间？

6. 海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，

该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：

7. 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8

辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． ⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请选择最省钱的租车方案．

8. 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100W的白炽灯和40W的节能灯，它们的单价

分别为2元和32元，经了解知这两种灯的照明效果和使用寿命一样，已知小王家所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多少小时时，小王选择节能灯合算[用电量（千瓦时）=功率（千瓦）×时间（时）

9、市里某童装加工企业，今年五月份工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平

均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资

改革，改革后每位工人的工资分成二部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元

⑴为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？

⑵根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？

10、某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留

原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需购买门票，每次2元；C类门票每张40元，持票者进入该园林时，需在购买门票，每次3元

⑴如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式

⑵求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算