分式线性函数【6.2.1 分式线性函数】

第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质

3、分式线性函数：

分式线性函数是指下列形状的函数：

w =αz +β, γz +δ

其中α, β, γ, δ是复常数，而且αδ-βγ≠0。在γ=0时，我们也称它为整线性函数。

分式线性函数的反函数为

z =-δw +β, γw -α

它也是分式线性函数，其中(-δ)(-α) -βγ≠0。

注解1、当γ=0时，所定义的分式线性函数是把z 平面双射到w 平面，即把C 双射到C 的单叶解析函数；

注解2、当γ≠0时，所定义的分式线性函数是把C -{-双射到C -{的单叶解析函数；

注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面C ∞。当

δ规定它把z =∞映射成w =∞；当γ≠0时，规定它把z =-, z =∞γ=0时，γδγαγ

映射成w =∞, w =α；则把C ∞双射到C ∞。 γ

1把f (z ) 现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果t =

那么我们说w=f(z ) z =z 0及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，

把z =z 0及其一个邻域保形映射成w =∞及其一个邻域。如果t =1

f (1/ζ)

把ζ=0及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f(z ) 把z =∞及其一个邻域保形映射成w =∞及其一个邻域。 注解4、分式线性函数把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面。 注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。

一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：

（1）、w =z +α（α为一个复数）；

（2）、w =e i θz （θ为一个实数）；

（3）、w =rz （r 为一个正数）；

（4）、w =。

事实上，我们有：

w =1z αz +βαβ=(z +) (γ=0), δδδ

w =αz +βαβγ-αδ=+ (γ≠0), γz +δγγ2(z +) γ

把z 及w 看作同一个复平面上的点，则有：

（1）、w =z +α确定一个平移；

（2）、w =e i θz 确定一个旋转；

（3）、w =rz 确定一个以原点为相似中心的相似映射；

（4）、w =是由映射z 1=及关于实轴的对称映射w =1叠合而得。 1z 1