【在数学学科训练体系中提高教师的能力与素质】数学学科体系

　　一、试题的评价与分析 　　 　　例1：（哈尔滨市香坊区期末测试第28题）在平面直角坐标系中，Rt△AOB的位置（如图1）,∠ABO=90°，∠OAB=30°，点A坐标为（1，），点P为x轴上一个动点，点P不与点O重合，连接AP.
　　（1）当点P运动到什么位置时，△OAP为等腰三角形，求点P的坐标.
　　（2）求（1）中直线AP的解析式.
　　（3）在（2）中直线从AP上是否存在点Q，过点Q作QR垂直于x轴，垂足为R，使△PQR与△AOB全等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
　　评价与分析：本题具有综合性和探究性.这道题包含了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、一次函数等相关知识，是一道综合性极强的题.本题把动点与多解问题巧妙结合，不仅考查知识点全面，而且极有利于学生思维的发展，开拓视野，让学生在探究的过程中，逐步完善解题步骤，逐渐形成多维、全面分析问题，解决问题的能力.此题解法多样，并对今后的学习内容设下伏笔，在学习圆之后，学生就会对此类多解问题理解得更透彻.
　　例2：（哈尔滨市道外区期末测试第10题）已知M(4，3)，N(1，-2)，P在y轴上且PM+PN最短，则点P的坐标是（）.
　　
　　评价与分析：此题具有基础性和知识性，包含的知识点全面，是轴对称知识的综合考查，考查了最短距离的问题，和一次函数问题相结合，并且在讲解过程中做过此类轴对称专题.此类问题和物理学中的镜面反射有很多联系，学好此类问题特别重要.
　　例3：（哈尔滨市香坊区期末测试第9题）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车前往考场.他的行程与时间关系（如图2）（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比步行提前了（ ）.
　　A.20分钟B.22分钟
　　C.24分钟D.26分钟
　　评价与分析：此题是一道基础性较强的生活实践性题目.从生活实际入手，考查了一次函数的知识，学生必须擅长观察图像中的各个数量及位置关系，才能得出正确结论.此题也有多种解法，也可以用算术算法，解题较快.此题也是一道易错题，在路程为1时的时间容易算错.
　　例4：（哈尔滨市道里区期末测试第27题）已知：（如图3）一副直角三角板如图放置，等腰直角三角板固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角板的斜边中点D处，两直角边与AB，CB的交点为GH.
　　（1）当三角板DEF如图①放置时，你能发现线段DG和DH的大小有何关系？
　　（2）如图②，设点G到AC的距离为h1,点H到AC的距离h2，线段AC的长为p,则h1、h2与p三者有什么数量关系？证明你的结论.
　　评价与分析：此题具有综合性和探究性.此题以一副三角板作为背景材料，这也是近年来中考的热点试题.根据现在所学的知识编制，考查了全等三角形的判定和等腰三角形的一系列知识，并且对同角的余角相等的基本图形巩固练习，使学生记忆深刻.通过三角板绕斜边中点D旋转的过程中△GMD与△DNH始终全等，并且AM=GM，NH=NC，让学生从中探究理解，使他们对三角形全等、等腰直角三角形、同角的余角相等掌握得更灵活，能够运用自如.
　　
　　二、试题的研究与创编
　　
　　创编题目一：
　　（一）创编过程
　　1.创编的背景和载体
　　原题：（1）人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册156页16题：在四边形ABCD内部找出一点O，使得点O到四边形4个顶点的距离和最小，并请说明理由.
　　知识内容是两点之间线段最短.
　　（2）人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第33页例6：A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元.现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？
　　知识内容是利用一次函数与方程解决实际问题.
　　2.知识的链接、延伸及扩展
　　以“两点之间线段最短”为桥梁，将一次函数和“调运”问题链接起来，使知识得到延伸及扩展.
　　3.条件和方法的演变和强化
　　将原题的条件放在直角坐标系中，使得求四边形内部到四边形各顶点距离及最小的点的位置，变为了求坐标的问题，并与调运问题巧妙结合.
　　（二）创编题目的特点
　　1.考查内容的全面性.创编题目中涉及到的知识包括七年级的“线段最短”知识、方程知识、八年级的一次函数知识以及“调运”知识.知识点全面.
　　2.解题思路的清晰性.创编题目虽然涉及到的知识点较多，但在解题过程中，知识点的内在联系紧密，使得解题过程更有条理.
　　（三）创编题目及答案
　　已知：A、B、C、D为4个村庄，在坐标系xoy中的坐标（如图4），若村庄D到x轴与y轴的距离分别为3公里和6公里（其他坐标含义相同）.若M为到4个村庄距离和最小的一个诊所，其中有甲、乙两种药品分别是5700盒与4300盒.若从诊所M到A、B、C、D四个村庄运甲药品的运费每盒每千米分别为0.1元、0.2元、0.4元、0.3元；运乙药品的运费分别为0.15元、0.35元、0.5元、0.25元，各村所需药品数量如表1：
　　设由M运往B村的甲种药品为x盒，由M到A、B、C、D四村的总运费为y.① 写出y与x的函数关系式；② 当x为何值时,总运费最少？
　　创编题目二：
　　（一）创编过程
　　1.创编的背景和载体
　　原题是2007年四川省眉山市中考数学试题第18题：（如图5）已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合．让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为．
　　知识内容是等腰直角三角形的面积和正方形的性质以及函数关系.
　　2.知识的链接、延伸及扩展
　　创编意图：在考查知识点不变的情况下，加入分段函数的知识点，使知识得到延伸及扩展，并使题目更加具有综合性.
　　3.条件和方法的演变及强化
　　同样是求阴影部分的面积，但改变了运动的方式，使得求解的方法也发生了改变.同时运动方向的改变以及三角形的腰长和正方形边长的特殊设计，也使得解题过程发生了微妙的变化.
　　（二）创编题目的特点
　　1.知识的综合性.本题将初中阶段平面几何中两种重要的图形的知识与函数知识链接到一起，通过运动变化的形式编制题目，实现了代数、几何知识的统一.
　　2.解法的多样性.在第（2）问中，即可通过自变量的变化来判断线段长度，也可应用三角形全等或者三角形相似的知识直接求出面积，解题方法多样.
　　（三）创编题目及答案
　　（1）正方形MNPQ以2cm/s的速度由C点运动到B点.试求出图①中阴影部分的面积y与运动时间x之间的函数关系.
　　（2）在（1）中，正方形MNPQ运动到B点后开始向左平移，重新开始计时，正方形平移的时间为t秒，当两个图形不再有重叠时运动停止（如图6-②），设两图形重叠部分的面积为s.试求s与t的函数关系.
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　　 创编题目三：
　　（一）创编过程
　　1.创编的背景和载体
　　原题是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册137页第9题：（如图7）A为马厩，B为帐篷.牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷.请你帮助他确定这一天的最短路线.
　　知识内容是轴对称的性质及“线段最短”.
　　2.知识的链接、延伸及扩展
　　在知识点“轴对称的性质”及“线段最短”保持不变的情况下，使其与直角坐标系链接起来，使知识得到延伸及扩展.
　　3.条件和方法的演变及强化
　　将“轴对称的性质”及“线段最短”与直角坐标系链接起来，知识得到综合考查，学生的综合能力得到锻炼.
　　（二）创编题目的特点
　　知识的综合性.轴对称的知识，是初中学习的重点，也是常考的一个考点.联系到两点之间线段最短，又巩固一次函数解析式以及求点的坐标.本题是平面几何与函数的综合应用，训练学生的综合能力及画图能力.
　　（三）创编题目及答案
　　创编题目：在平面直角坐标系中，有A（2，4），
　　B（4，2）两点.分别在x轴和y轴上各找到一点，使其与已知两点构成的四边形的周长最短.画出图形，并求出所求两点的坐标.
　　答案：
　　解：分别作A、B关于x、y轴的对称点A1、B1，A1B1分别交y轴、x轴于点C、D（如图8）.
　　则A1（-2，4），B1（4，-2），直线A1B1的解析式为y=-x+2，则C（0，2），
　　D（2，0）.
　　三、试题的反思与矫正
　　统考中得分率最低的5道试题.
　　1.第9题.通过率：0.72，错误原因：识图能力较差.
　　原题：直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图像（如图9），则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（ ）.
　　A. x＞-1 B. x＜-1
　　C. x＜-2 D. x＞-2
　　变式训练：
　　直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图像（如图9），则关于x的不等式k1x+b＜k2x的解集为（ ）.
　　A.x＞-1 B.x＜-1 C.x＜-2 D.x＞-2
　　深化训练：
　　一次函数y1=kx+b与直线y2=x+a的图像（如图10），则下列结论k＜0，a＞0，当x＜3时，y1＜y2中正确的个数是（ ）.
　　A.0个B.1个
　　C.2个D.3个
　　2.第21题.通过率：0.73，错误原因：不认真读题，图像画反.
　　原题：已知A、B两地相距4千米，上午8∶00甲从A地出发步行去B地，8∶20乙从B地出发骑自行车去A地.甲乙两人离A地的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系（图11），由图中的信息解答下列问题：
　　（1）甲乙两人在途中是否相遇过？若相遇，相遇在什么位置？
　　（2）乙到达A地是什么时间？
　　（3）若乙也在上午8∶00从A地出发去B地，在图中画出此时乙的图像.
　　变式训练：
　　已知A、B两地相距4千米，上午8∶00甲从A地出发步行去B地；8∶20乙从B地出发骑自行车去A地.甲乙两人离A地的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系（如图11），由图中的信息解答下列问题：
　　（1）甲乙两人在途中是否相遇过？若相遇，在什么位置？
　　（2）乙到达A地是什么时间？
　　（3）若乙也在上午8∶00从B地出发去A地，在图中画出此时乙的图像.
　　深化式训练：
　　两组同学进行登山比赛，两组同学从山脚出发沿同一路线到达山顶的过程中，路程随时间变化关系（如图12）：
　　（1）写出甲、乙登山过程中路程S与时间t的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
　　（2）如果甲组到达山顶时，乙组同学继续登山，甲组在山顶休息半小时后沿原路下山，在距山顶0.5千米B处与乙组相遇，若相遇后各自按原速前进，那么乙组同学到达山顶时，甲组距离山脚的距离是多少千米？
　　3.第27题通过率：0.62，错误原因：最后一问有些学生没有思路.
　　原题：用两个全等的等边三角形拼成一个四边形，把一个含有60°角的透明三角板与这个四边形重叠，使三角板的60°角的顶点与点A重合.
　　（1）（如图13-①）当三角板的两边分别与BC、CD相交于E、F时，猜想线段BE与CF有什么数量关系？并证明你的猜想；
　　（2）（如图13-②）当三角板的两边分别与BC的延长线、CD的延长线相交于E、F时，（1）中的结论还成立吗？
　　（3）若将两个全等的等边三角形换成两个全等的等腰直角三角形，斜边重合拼成正方形ABCD，再把三角板换成含有45°角的三角板（如图13-③）.（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，要想使这个结论成立，应将图③中的△ABC和△ADC变成什么形状的三角形？
　　变式训练：
　　把两个等边三角形改为顶角为30°的两个等腰三角形，使三角板的60°角改为是三角板的30°角.
　　强化训练：
　　一变：（如图14）△ABD、△AEC都是等边三角形，且BE与CD相交于点P.
　　（1）若让△ABD、△AEC 绕公共点A旋转，在此过程中DC、BE是否依然相等，直接回答问题；
　　（2）若使B、A、C在一条直线上，设BE、AD相交于点M，CD与AE相交于N，△AMN是等边三角形吗？
　　二变：（如图15）△ABC是等腰三角形，CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
　　（1）观察图形，猜想AF与BD有怎样的关系，并证明；
　　（2）若正方形CDEF绕A点按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请画出变形后的图形，此时（1）中猜想是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.
　　三变：猜想二变中和正方形CDEF还可以换成什么图形？写出你的猜想并画出图形，证明你的猜想.
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