【“,圆”的变式教学一例】 例又大又圆

　　人教版教材九年级上册P86例2：如图1，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长。　　该题是利用圆周角定理的推论，同圆中弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解题。通过这个例题，学生初步学会运用圆周角定理及其推论，感受圆周角定理的推论为在圆中确定直角构成垂直关系创造了条件这一重要性质，体会转化思想在几何问题中的重要地位。这道例题虽然难度较低，但特点显著，颇具导向性。于是，我在例题的基础上，综合已学过的与圆相关的知识，对学生进行变式训练。
　　变式一：如图2，CD是△ABC的外角平分线，CD与△ABC的外接圆交于点D。求证：BD=AD。
　　证明：因为∠ECA是△ABC的外角，则∠ECA=∠ABC+∠BAC。
　　又CD平分∠ECA，则∠ECD
　　=∠DCA，2∠DCA=∠ABC+∠BAC。
　　因为∠DCA=∠DBA，∠CBD=∠CAD，又∠ABC=∠CBD+∠DBA，则2∠DCA=∠CBD+∠DBA+∠BAC，∠DBA=∠CAD+∠BAC，即∠DBA=∠DAB，所以BD=AD。
　　变式一将内角平分线变为外角平分线，直径AB变成弦AB，计算题变证明题，旨在通过这些变化，让学生把握题与题之间的关系及变化，达到“通一类”的目的。
　　变式二：如图3，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AE交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE。求证：（1）∠BAE=∠CEF；（2）CE2=BD·EF。
　　证明：（1）因为EF∥BC，则∠BCE=∠CEF。又∠BAE=∠BCE，则∠BAE=∠CEF。
　　（2）连结BE。
　　因为∠BAE=∠CAE，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CBE，则∠EBC=∠ECB。
　　因EF∥BC，则∠FEC=∠ECB，∠FEC=∠EBC。形以及相似比的知识。学生要有效地抓住解题关键，得从结论出发，倒推所需的数量关系，从而培养逻辑推理能力。
　　变式三：如图4，AB是⊙O的直径，点C为半圆上一点（AC＞BC），∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作DE⊥AC，垂足为的结论。
　　解：如图5，过点D作DF⊥CB，垂足为F。
　　因为CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥CB，则DE=DF，Rt△AED≌Rt△BFD，AE=BF。
　　又AB是直径，则∠ACB=90°。
　　因为∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF，则四边形CEDF是正方形，CE=CF。
　　变式三添加了DE⊥AC的条件，结论更为开放。学生在求解过程中，需要寻找条件和结论之间的有效过渡元，能够很好地培养观察问题、分析问题的能力以及思维的灵活性。
　　以上的教学中，教师将与圆相关的知识点（垂径定理、弧、弦与圆心角之间的关系、圆周角定理及其推论等）进行综合，通过多层次、多角度的变式培养学生思维，真正做到“做一题，通一类，会一片，得一法”，使复习方法最优化，课堂效益最大化。
　　（作者单位：长沙市第三十七中学）