【2015年全国高中数学联赛试题】

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分

1. 设a , b 为不相等的实数，若二次函数f (x ) =x 2+ax +b 满足f (a ) =f (b ) ，则f (2)的值为2. 若实数α满足cos α=tan α，则1+cos 4α的值为sin α

3. 已知复数数列{z n }满足z 1=1, z n +1=z n +1+ni (n =1,2,3, ) ，其中i 为虚数单位，z n 表示z n 的共轭复数，则z 2015的值为4. 在矩形ABCD 中，AB =2, AD =1, 边DC （包含点D , C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含

点B ）的动点Q 满足DP =BQ , 则向量PA 与向量PQ 的数量积PA ⋅PQ 的最小值为

5. 在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为

6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集K =(x , y ) (x +3y -6)(3x +y -6) ≤0所对应的平面区域的面积为

7. 设ω为正实数，若存在a , b (π≤a

8. 对四位数abcd (1≤a ≤9,0≤b , c , d ≤9) ，若a >b , b d ，则称abcd 为P 类数，若 a c , c

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9. （本题满分16分）若实数a , b , c 满足2a +4b =2c ,4a +2b =4c ，求c 的最小值.

10. （本题满分20分）设a 1, a 2, a 3, a 4是4个有理数，使得

{a a i j 31⎧⎫1≤i

x 2

11. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，F 1, F 2分别是椭圆+y 2=1的左、右焦点，2

设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A , B ，焦点F 2到直线l 的距离为d ，如果直线AF 1, l , BF 1的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.

一、（本题满分40分）设a 1, a 2, , a n (n ≥2) 是实数，证明：可以选取ε1, ε2, , εn ∈{1, -1}，使⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n 2⎫得 ∑a i ⎪+ ∑εi a i ⎪≤(n +1) ∑a i ⎪. ⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎝i =1⎭

二、（本题满分40分）设S ={A 1, A 2, , A n }，其中A 1, A 2, , A n 是n 个互不相同的有限集合（n ≥2），满足对任意的A i , A j ∈S ，均有A i A j ∈S ，若k =min A i ≥2. 证明：存在x ∈ A i ，1≤i ≤n i =1n 22使得x 属于A 1, A 2, , A n 中的至少n 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. k 上一点，点K 在线段AP 上，使得三、（本题满分50分）如图，∆ABC 内接于圆O ，P 为BC

BK 平分∠ABC ，过K , P , C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F . 证明：∠ABC =2∠FCB . （解题时请将图画在答卷纸上）

四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：

(kn )! 对任意正整数n ，2(k -1) n +1不整除. n !