二元函数的极限及其连续性_函数的极限和连续性

二元函数的极限及其连续性

在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x 与y 趋向于有限值ξ与η时，函数z 的变化状态。

在平面xOy 上，(x,y)趋向(ξ, η) 的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ, η) 时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A ，

那末就称A 是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的极限。

这种极限通常称为二重极限。

下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：

二重极限的定义

如果定义于(ξ, η) 的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A 有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足

的一切(x,y)都使不等式

成立，

那末常数A 称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ, η) 时的二重极限。

正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：

二重极限的运算法则

如果当（x,y)→(ξ, η) 时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.

那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；

(2)：f(x,y)g(x,y)→AB ；

(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0

像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性

如果当点(x,y)趋向点(x0,y 0) 时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y 0) 处. .

的函数值f(x0,y 0) ，那末称函数f(x,y)在点(x0,y 0) 处连续. 如果f(x,y)在区域D 的每一点都连续，那末称它在区域D 连续。

如果函数z=f(x,y)在(x0,y 0) 不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y 0) 是f(x,y)的一个间断点。

关于二元函数间断的问题

二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。

二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：

求下面函数的间断线

解答：x=0与y=0都是函数的间断线。